最长递增子序列问题（最大流，拆点，dp，网络流24题）

题意

给定正整数序列 (x_1, dots , x_n)。

• 计算其最长递增子序列的长度 (s)。
• 计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 (s) 的递增子序列。（给定序列中的每个元素最多只能被取出使用一次）
• 如果允许在取出的序列中多次使用 (x_1) 和 (x_n)，则从给定序列中最多可取出多少个长度为 (s) 的递增子序列。

注意：递增指非严格递增。

思路

第一问普通的DP即可。

第二问可以考察动态规划的转移过程来建图。如果(g(j))是由(g(i))转移过来的，那么(i)向(j)连一条容量是(1)的边。

但是这里需要注意的是，每个数只能使用一次，因此考虑拆点，拆成一个入点和一个出点。每个数的入点向出点连一条容量是(1)的边，(i)号出点向(j)号入点连边。

设立一个源点(S)和一个汇点(T)，对于每个点，若(g(i))为(1)，那么(S)向其入点连一条容量是(1)的边；若(g(i))为最大值，那么它的出点向(T)连一条容量是(1)的边。

跑一个最大流即可。

第三问就是在第二问的基础上，将关于第(1)个数和第(n)个数的边的容量从(1)改成(infty)即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 251010, inf = 1e8;

int n, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
int g[N], w[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = 2 * n + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);
    int ans1 = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        g[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++) {
            if(w[j] <= w[i]) {
                g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
            }
        }
        for(int j = 1; j < i; j ++) {
            if(w[j] <= w[i] && g[i] == g[j] + 1) {
                add(n + j, i, 1);
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) ans1 = max(ans1, g[i]);
    printf("%d
", ans1);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) add(i, n + i, 1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        if(g[i] == 1) add(S, i, 1);
        if(g[i] == ans1) add(n + i, T, 1);
    }
    if(ans1 == 1) printf("%d
%d
", n, n);
    else {
        int ans2 = dinic();
        printf("%d
", ans2);
        for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
            int a = e[i ^ 1], b = e[i];
            if(a == S && b == 1) f[i] = inf;
            else if(a == 1 && b == n + 1) f[i] = inf;
            else if(a == n && b == 2 * n) f[i] = inf;
            else if(a == 2 * n && b == T) f[i] = inf;
        }
        int ans3 = dinic() + ans2;
        printf("%d
", ans3);
    }
    return 0;
}