gamma函数的定义及重要性质
[Gamma(x)=int_0^{infty}t^{x-1}e^{-t}dt]
[Gamma(x+1) = x Gamma(x)]
[Gamma(n) = (n-1)! ]
[Gamma(0) = 1]
[Gamma({1over 2}) = 2int_0^{+infty}e^{-u^2}du = sqrtpi]
gamma函数的图像
在matlib中，我们可以方便的用下面的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;
plot(x,gamma(x));
axis([-10.1,10.1,-4,4]);
随机变量(Y=X^2)的概率密度
假设随机变量(X)具有概率密度(f_X(x),-infty<x<infty),求(Y=X^2)的概率密度。
egin{align*}F_Y(y) &=P(Yleq y)=P(X^2 leq y) \
&=P(-sqrt{y} leq x leq sqrt{y}) \ &=F_X(sqrt{y})-F_X{(-sqrt{y})} end{align*}
[f_Y(y)=left{
egin{aligned}
frac{1}{2sqrt{y}}[f_X(sqrt{y})+f_X(sqrt{-y}], y >0, \
0, y leq 0 \
end{aligned}
ight.]
设(X sim N(0,1))，其概率密度为(varphi(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}e^{frac{-x^2}{2}}, -infty<x<infty),则(Y=X^2)的概率密度如下：
[f_Y(y)=left{
egin{aligned}
frac{1}{sqrt{2pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \
0, y leq 0 \
end{aligned}
ight.]
Gamma分布
(X sim Gamma(alpha, heta))
[f_X(x)=left{egin{aligned}
frac{1}{ heta^alphaGamma(alpha)}x^{alpha-1}e^{-x/ heta}, x> 0, alpha>0, heta>0 \
0, x leq 0, alpha>0, heta>0 \
end{aligned}
ight.]
当(alpha= 1 , heta = lambda 时，Gamma(1,lambda)) 就是参数为(lambda)的指数分布,记为(exp (lambda)) ；
当(alpha= n/2 , heta = 2 时，Gamma(n/2,1/2))就是数理统计中常用的(chi^2(n)) 分布。
数学期望(均值)、方差分别为
[E(X) = alpha heta]
[D(x) = alpha heta^2]
Gamma分布是指在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下，可以导出地震发生(i)次时间的概率密度为Gamma密度函数。
gamma分布的一个重要应用就是作为共轭分布出现在很多机器学习算法中。
gamma的密度函数和分布函数图像如下：
注意：这儿(alpha=1.5, heta = 1/0.6 或者 eta=0.6),因为gamma函数有两种表达方式，一种用( heta),一种用(eta),它们的关系是( heta=frac{1}{eta})
x=0:0.1:5; figure; plot(x,[gampdf(x,1.5,0.6);gamcdf(x,1.5,0.6)])
Gamma分布的可加性
设(X sim Gamma(alpha, heta),Y sim Gamma(eta, heta)),(X,Y)的概率密度如下：
[f_X(x)=left{
egin{aligned}
frac{1}{ heta^alphaGamma(alpha)}x^{alpha-1}e^{-x/ heta}, x> 0, alpha>0, heta>0 \
0, x leq 0, alpha>0, heta>0 \
end{aligned}
ight.]
[f_Y(y)=left{
egin{aligned}
frac{1}{ heta^etaGamma(eta)}y^{eta-1}e^{-y/ heta}, y > 0, eta>0, heta>0 \
0, y leq 0, eta>0, heta>0\
end{aligned}
ight.]
则有(Z=X+Y)的分布为：(X+Y sim Gamma(alpha + eta, heta))
(chi ^2)（卡方)分布及其性质
设(X_1,X_2,…,X_n)是来自总体(N(0,1))的样本，则称统计量
[chi^2=X_1^2+X_2^2+…+X_n^2]
为服从自由度为(n)的(chi^2)分布，记为(chi^2 sim chi^2(n))
它的概率密度函数为：
[f(x,n)=left{
egin{aligned}
frac{1}{2^{n/2}Gamma(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}, x> 0 \
0, x leq 0, \
end{aligned}
ight.]
用下面的matlib代码，我们能够画出卡方分布概率密度函数图:
%卡方分布 x=0.0:0.01:30; y=chi2pdf(x,1); y1=chi2pdf(x,2); y2=chi2pdf(x,4); y3=chi2pdf(x,6); y4=chi2pdf(x,11); plot(x,y,'-r',x,y1,'-g',x,y2,'-b',x,y3,'-c',x,y4,'-m'); legend('自由度1','自由度2','自由度4','自由度6','自由度11'); axis([0,30,0,0.2]);
由上面的式子可以知道：
[chi^2=sumlimits_{i=1}^{n}X_i^2 sim Gamma(frac{n}{2},2)]
1）若 (X sim chi(n)),则(E(X)=n,D(X)=2n)
2)若(X sim chi(n_1)), (Y sim chi(n_2)),且(X,Y)相互对立，则有(X+Y sim chi^2(n_1+n_2))