树状数组 区间update/query

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【问题引入】

对于区间修改、区间查询这样的简单问题，打一大堆线段树确实是不划算，今天来介绍一下区间查询+区间修改的树状数组

【一些基础】

树状数组的基本知识不再介绍，请自行百度

我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)

设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v

【今天的主要内容】

我们可以实现NlogN时间的“单点修改，区间查询”，“区间修改，单点查询”，其实后者就是前者的一个变形，要明白树状数组的本质就是“单点修改，区间查询”

怎么实现“区间修改，区间查询”呢？

观察式子：
a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变

那么

式子①

=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询

一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多，实际上它的计算次数比NlogN要小很多，再加上它代码短，是OI中的利器

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 200100*8
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll a[N],c1[N],c2[N];
struct io{
    char op[1<<26],*s;
    io()
    {
        fread(s=op,1,1<<26,stdin);
    }
    inline int read()
    {
        register int u=0;
        while(*s<48)s++;
        while(*s>32)u=u*10+*s++-48;
        return u;
    }
}ip;
#define read ip.read
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(ll *r,int pos, ll v)
{
    for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;
}
ll getsum(ll *r,int pos)
{
    ll re=0;
    for(;pos>0;pos-=lowbit(pos))re+=r[pos];
    return re;
}
ll sigma(int r)
{
    ll sum1=r*getsum(c1,r),sum2=getsum(c2,r);
    return sum1-sum2;
}
ll query(int x,int y)
{
    return sigma(y)-sigma(x-1);
}
int flag,x,y;ll k;
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
        add(c1,i,a[i]-a[i-1]);
        add(c2,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));
    }m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        flag=read();
        if(flag==1)
        {
            x=read();y=read();k=read();
            add(c1,x,k);add(c1,y+1,-k);
            add(c2,x,(x-1)*k);add(c2,y+1,y*(-k));
        }
        else
        {
            x=read();y=read();
            printf("%lld
",query(x,y));
        }
    }
    return 0;
}

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