• 树链剖分详解


    预备知识:线段树,DFS序

    DFS序

     

    DFS序,字面意思,就是DFS到的顺序

    我们只需要在搜到节点的时候记录一下就可以了

    比如这样可能是一个树的DFS序

    2

    那知道了DFS序又有什么用呢

    我们可以发现一颗子树在DFS序上是连续的一段

    3

    那么它就有了一个区间的性质,每个节点对应一段区间,那么我们在进行一些操作像什么:将以某节点为根的子树节点都加上x时,就可以转化为在线段树内的区间加了

     

    树链剖分

     

    首先我们要清楚一些概念:

    重儿子(节点):子树结点数目最多的结点

    轻儿子(节点):除了重儿子以外的结点

    重边:父亲结点和重儿子连成的边

    轻边:父亲节点和轻儿子连成的边

    重链:由多条重边连接而成的路径

    轻链:由多条轻边连接而成的路径

    1

    看图感受一下,

    可以看到:对于1节点4的子树的节点比2,3的多,所以4是重儿子

         对于4节点9的子树的节点比8,9的多,所以9是重儿子

         以此类推

    所以结果是:图中黑色的节点是重儿子,其余的节点是轻儿子

          红边是重边,黑边是轻边

          1 - 4 - 9 - 13 - 14;3 - 7;2 - 6 - 11是重链

    我们发现叶节点没有重儿子,非叶节点有且只有1个重儿子

         并不是轻儿子之后全是轻儿子,比如3后面就有6和11两个重儿子

    我们就可以这样理解:

    当一个节点选了他的重儿子之后,我们并不能保证它的轻儿子就是叶节点,所以我们就以这个轻儿子为根,再去选这个轻儿子的轻重儿子

    也就是一个DFS的过程,这样我们就会得到很多重链

     

    有如下两个性质:

    1.轻边(u,v)中, size(u)≤ size(u/2)

    2.从根到某一点的路径上,不超过logn条轻链和不超过logn条重链。

     

     那我们要怎么求出轻重儿子呢

    这里我们定义几个数组:

    son[u]:表示u的重儿子

    size[u]:表示以u为根的树的节点个数,如上图的size[1] = 13

    在这里,我们还可以顺带的求出

    f[u]:节点的父节点

    dep[u]:节点的深度

    //u是当前节点
    //fa是当前节点的父节点
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;//表示刚搜到u的时候以u为根的子树里只有u一个节点
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;//连向的节点
            if (v != fa) {//因为连的是无相边,而且是树,不能往上搜,所以我们要判断u是不是从fa搜过来,也就是判断v是不是u的子节点,也可以写作!dep[v](没有被搜到过)
                dep[v] = dep[u] + 1;//v的深度是当前节点的深度+1
                f[v] = u;//记录一下父亲
                dfs1(v, u);//继续往下搜,一直搜到叶节点为止
                size[u] += size[v];//往上回溯,更新以u为根的子树的size
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;//重儿子是节点个数更多的子树,如果以u的子树中,以v为根的子树节点多,那就更新一下u的重儿子为v
            }
        }
    }

    这样我们就求出了这棵树的所有重儿子,所有点的深度,和所有点的父亲。

     

    既然我们已经求出来重儿子,轻儿子那么我们就要把他们连成链

    因为我们要把轻重儿子连城链,所以我们就一定要让链上的点连续,方便我们的操作

    那该怎么办呢,这就用到了我们之前提到的DFS序了

    我们从根开始一遍DFS,如果有重儿子就先走重儿子(将一条重链放到一个区间内),搜到叶子节点后回溯回去再去搜轻儿子(轻链)

     这一遍DFS里,我们又引入了几个数组:

    top[u]:节点u所在链的顶端

    id[u]:节点u的新编号(DFS序)

    a[cnt]:在新编号(DFS序)下的当前点的点值

    w[u]:题目中给出的节点u的点值

     

    //u是当前节点
    //t是所在链的顶端
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++cnt;//给这个点一个新的编号
        a[cnt] = w[u];//记录这个编号下点的值
        top[u] = t;//记录u所在链的顶端为t
        if (son[u]) dfs2(son[u], t);//u的重儿子和u在同一条链里
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;//搜轻儿子
            if (v != f[u] && v != son[u])//判断是否是轻儿子 
                        dfs2(v, v);//以轻儿子为顶的链
        }
    }    

     为什么是dfs2(v,v)呢,因为当v是重儿子的时候,它不可能为一条链的顶,因为根据重边的定义,一定有一条边连向重儿子,若重儿子为顶,还会有一条边连向它,所以重儿子不会为顶端。

     

    树链剖分求LCA

    为什么要先讲树剖求LCA呢

    因为树剖的很多题是要求要在链上进行操作的,而链上操作其实就是LCA

    树剖求LCA其实也是往上跳,但这里的往上跳不是倍增的往上跳

    我们这里只要把两个点跳到同一条链里就好了

    3

    如图:我们要求LCA的话,有两种情况

    1、在同一条链内,如3和5。这时直接输出深度较小的那个节点就好了

    2、不再同一条链内,如6和8。因为他们不再一条链内,所以我们让其中一个点 x 直接跳到链的顶端也是没有问题的。这时我们就让那个深度深的 x 一直往上跳,这把 x 更新 x 的顶端的父亲节点,也就是到了另一条链上,记录一下它在这条新链上的顶端是谁,用来判断和另一个点 y 是否在同一条链内。当 x 跳到它所在的链的顶端时,深度可能就小于 y 的顶端了,也就是在另一条链的上面(这时 x 不会再往上跳,y 也不会再往上跳,但没有找到LCA),这时我们就要交换他们(其实只是换了个名字,管原来的 y 叫 x ,管原来的 x 叫 y,原来的树并没有变,想了很久),保证 x , y 会更新到同一条链内

    稍微模拟一下

    如图:

    5

    如果我们要求6和12的LCA

    设x = 12,y = 1

    这时我们先比较一下两者的top,fx = top[x] = 12,fy  = top[y] = 1

    发现他们的top不一样

    那就往上跳呗,dep[fx] > dep[fy],所以 x = f[fx] = 9,fx = top[x] = 7

    12往上跳跳到了9

    变成了这样

    6

    找到9所在链的顶为7

    发现7 != 1说明9和1不再同一个链里

     

    继续往上跳

    x = top[fx] = 2,fx = top[2] = 1

    7

    发现1 == 1

    说明我们现在的 xy 在同一条链里了

    这时我们就返回深度小的那个就可以了

    //fx表示x所在链的顶,fy表示y所在链的顶
    int LCA(int x, int y) {
        int fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        return dep[x] < dep[y] ? x : y;//最后返回深度小的那个
    }

    如果还有边权的话,只要在dfs1里加1句话就可以了

    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                dis[v] = dis[u] + e[i].w;//here
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }

    dis[u]表示从根到u的距离,其实倍增,tarjan都是这么着

    查询距离的时候还是

    dis[x] + dis[y] - 2 * dis[LCA(x, y)]

    路径上的修改/查询

    讲完了LCA,剩下的路径上修改和查询就和LCA差不多了,只是加了几句话而已

    这里要结合我们上面的DFS序和LCA

    那对于路径上的操作,我们先想LCA,在求LCA的时候,我们每次都往上跳一条链,直到这两个点在一个路径上为止

    就像我们刚开始的找6的top一样

    7

    一次就经过了这么一条链(绿边)

    我们再回想一下DFS序的性质,会得到在这一条链上,新的编号是连续的,我们要对这一条链进行修改和查询操作,这让我们想到了什么

    线段树!!

    线段树最支持的不就是区间修改和查询吗

    那么我们就可以用线段树维护这一条路径了。

     

     

    7

    那如果我们要维护6到12这样一条路径呢?

    还记得我们求LCA的时候是怎么往上跳的吗

    8

    左半部分的12往上跳,每次都跳到所在链的顶端(只记录初末位置),我们可以得到12跳到的当前点 u 所处的链的顶的新编号(跳到9,顶为7),我们又知道当前点 u 的新编号,那我们就可以用线段树对从顶段到当前点 u 这条路径进行操作了,这样我们每次修改一条链(可能是一部分),就完成了路径的操作;

    跳到2的时候,fx == fy,两点在同一条链内,x = 2,y = 6,然后我们操作 id[2] 到 id[6] ,这样我们就一条链一条链的完成了对这条路径的操作

    全程我们操作的区间是[id[2],id[6]],[id[7],id[9]],[id[12],id[12]]

    我们不对蓝边上的点和绿边上的点操作,因为他们不是重链,只是注明一下点经过的路径,若对它们操作的话会算重复

    我刚写完这句话的时候想到了一个error

    如果图长这样

    9(虚线是我省略了那一串的点)

    如果我们要查询 103 到 101 呢,它们之间没有重链啊,那只好就一个一个的往上跳了,103->102->101.(退化成单点操作)

     

     

    //修改
    void update_chain(int x, int y, int z) {
        int fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            update(id[fx], id[x], z, 1, cnt, 1);//每往上跳一次,就修改以次经过路径上的值,因为DFS序中id[fx] < id[x],所以是区间[id[fx],id[x]];
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);//要保证区间是从小到大的
        update(id[x], id[y], z, 1, cnt, 1);
    }

     

    //查询
    int query_chain(int x, int y) {
        int ans = 0, fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans += query(id[fx], id[x], 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans += query(id[x], id[y], 1, cnt, 1);
        return ans;
    }

     到此为止,我们就完成了树链剖分的基本操作

     

    完整代码:

    P3384 【模板】树链剖分

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 1e6 + 10;
    int n, m, num, cnt, rt, cntt, k, s, mod;
    int head[N], size[N], top[N], f[N], son[N], dep[N], a[N], id[N], w[N];
    struct node {
        int v, nx;
    } e[N];
    struct tree {
        int sum, lazy;
        int len;
    } t[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T>inline void read(T &x) {
        x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return ;
    }
    
    inline void add(int u, int v) {
        e[++num].nx = head[u], e[num].v = v, head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++ cnt;
        a[cnt] = w[u];
        top[u] = t;
        if (son[u]) dfs2(son[u], t);
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v, v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        t[rt].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;
    }
    
    void build(int l, int r, int rt) {
        t[rt].len = r - l + 1;
        if (l == r) {
            t[rt].sum = a[l];
            return;
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        build(l, m, lson);
        build(m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    inline void pushdown(int rt) {
        if (t[rt].lazy) {
            t[lson].lazy += t[rt].lazy, t[lson].lazy %= mod;
            t[rson].lazy += t[rt].lazy, t[rson].lazy %= mod;
            t[lson].sum += t[rt].lazy * t[lson].len, t[lson].sum %= mod;
            t[rson].sum += t[rt].lazy * t[rson].len, t[rson].sum %= mod;
            t[rt].lazy = 0;
        }
    }
    
    void update(int L, int R, int c, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) {
            t[rt].sum += (t[rt].len * c) % mod;
            t[rt].lazy += c;
            return ;
        }
        pushdown(rt);
        int m = (l + r) >> 1;
        if (L <= m) update(L, R, c, l, m, lson);
        if (R > m) update(L, R, c, m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return t[rt].sum;
        pushdown(rt);
        int m = (l + r) >> 1, ans = 0;
        if (L <= m) ans += query(L, R, l, m, lson) % mod;
        if (R > m) ans += query(L, R, m + 1, r, rson) % mod;
        return ans % mod;
    }
    
    void update_chain(int x, int y, int z) {
        int fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            update(id[fx], id[x], z, 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        update(id[x], id[y], z, 1, cnt, 1);
    }
    
    int query_chain(int x, int y) {
        int ans = 0, fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans += query(id[fx], id[x], 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans += query(id[x], id[y], 1, cnt, 1);
        return ans % mod;
    }
    
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        read(n), read(m), read(s), read(mod);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) read(w[i]);
        for (int i = 1, x, y; i < n; ++ i) {
            read(x), read(y);
            add(x, y), add(y, x);
        }
        f[s] = 1, dep[s] = 0;
        dfs1(s, 0);
        dfs2(s, s);
        build(1, n, 1);
        for (int i = 1, x, y, z; i <= m; ++i) {
            read(k), read(x);
            if (k == 1) {read(y), read(z); update_chain(x, y, z);}
            if (k == 2) {read(y); printf("%d
    ", query_chain(x, y));}
            if (k == 3) {read(z); update(id[x], id[x] + size[x] - 1, z, 1, n, 1);}
            if (k == 4) printf("%d
    ", query(id[x], id[x] + size[x] - 1, 1, n, 1) % mod);
        }
        return 0;
    }
    树链剖分

    例题:

    P3178 [HAOI2015]树上操作

    #include <bits/stdc++.h>
    #define ll long long 
    using namespace std;
    const int N = 5e6 + 10;
    int n, m, num, cnt, cntt, rt;
    int head[N], dep[N], f[N], id[N], size[N], w[N], son[N], a[N], top[N];
    struct node {
        int v, nx;
    } e[N];
    struct tree {
        ll sum, lazy;
        int len;
    } t[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T>inline void read(T &x) {
        x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return;
    }
    
    inline void add(int u, int v) {
        e[++num].nx = head[u], e[num].v = v, head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++ cnt;
        a[cnt] = w[u];
        top[u] = t;
        if (son[u]) dfs2(son[u], t);
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v, v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        t[rt].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;
    }
    
    void build(int l, int r, int rt) {
        t[rt].len = r - l + 1;
        if (l == r) {
            t[rt].sum = a[l];
            return;
        }
        int m = l + r >> 1;
        build(l, m, lson);
        build(m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    inline void pushdown(int rt) {
        if (t[rt].lazy) {
            t[lson].lazy += t[rt].lazy;
            t[rson].lazy += t[rt].lazy;
            t[lson].sum += t[rt].lazy * t[lson].len;
            t[rson].sum += t[rt].lazy * t[rson].len;
            t[rt].lazy = 0;
        }
    }
    
    void update(int L, int R, ll c, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) {
            t[rt].sum += c * t[rt].len;
            t[rt].lazy += c;
            return ;
        }
        int m = l + r >> 1;
        pushdown(rt);
        if (L <= m) update(L, R, c, l, m, lson);
        if (R > m) update(L, R, c, m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    ll query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return t[rt].sum;
        pushdown(rt);
        int m = l + r >> 1;
        ll ans = 0;
        if (L <= m) ans += query(L, R, l, m, lson);
        if (R > m) ans += query(L, R, m + 1, r, rson);
        return ans;
    }
    
    ll query_chain(int x, int y) {
        ll ans = 0;
        int fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans += query(id[fx], id[x], 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans += query(id[x], id[y], 1, cnt, 1);
        return ans;
    }
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        read(n), read(m);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) read(w[i]);
        for (int i = 1, x, y; i < n; ++ i) {
            read(x), read(y);
            add(x, y), add(y, x);
        }
        dep[1] = 1;
        dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
        build(1, n, 1);
        for (int i = 1, x, y, z; i <= m; ++ i) {
            read(x), read(y);
            if (x == 1) read(z), update(id[y], id[y], z, 1, n, 1);
            if (x == 2) read(z), update(id[y], id[y] + size[y] - 1, z, 1, n, 1);
            if (x == 3) printf("%lld
    ",query_chain(1,y));
        }
        return 0;
    }
    P3178

    P2590 [ZJOI2008]树的统计

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 1e5 + 10;
    int n, m, num, cnt, cntt, rt;
    int head[N], size[N], dep[N], f[N], id[N], w[N], a[N], top[N], son[N];
    string s;
    struct node {
        int v, nx;
    } e[N];
    struct tree {
        int sum, lazy, mx;
        int len;
    } t[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T> inline void read(T &x) {
        x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return;
    }
    
    inline void add(int u, int v) {
        e[++num].nx = head[u], e[num].v = v, head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                f[v] = u;
                dep[v] = dep[u] + 1;
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++ cnt;
        a[cnt] = w[u];
        top[u] = t;
        if (son[u]) dfs2(son[u],t);
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v, v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        t[rt].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;
        t[rt].mx = max(t[lson].mx, t[rson].mx);
    }
    
    void build(int l, int r, int rt) {
        t[rt].len = r - l + 1;
        if (l == r) {
            t[rt].sum = t[rt].mx = a[l];
            return;
        }
        int m = l + r >> 1;
        build(l, m, lson);
        build(m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    void update(int L, int c, int l, int r, int rt) {
        if (l == r) {
            t[rt].sum = c;
            t[rt].mx = c;
            return;
        }
        int m = l + r >> 1;
        if (L <= m) update(L, c, l, m, lson);
        else update(L, c, m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    int query_sum(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return t[rt].sum;
        int m = l + r >> 1, ans = 0;
        if (L <= m) ans += query_sum(L, R, l, m, lson);
        if (R > m) ans += query_sum(L, R, m + 1, r, rson);
        return ans;
    }
    
    int query_max(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return t[rt].mx;
        int m = l + r >> 1, ans = -0x3f3f3f3f;
        if (L <= m) ans = max(ans, query_max(L, R, l, m, lson));
        if (R > m) ans = max(ans, query_max(L, R, m + 1, r, rson));
        return ans;
    }
    
    int query_chain_sum(int x, int y) {
        int ans = 0, fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans += query_sum(id[fx], id[x], 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans += query_sum(id[x], id[y], 1, cnt, 1);
        return ans;
    }
    
    int query_chain_max(int x, int y) {
        int ans = -0x3f3f3f3f, fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans = max(ans, query_max(id[fx], id[x], 1, cnt, 1));
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans = max(ans, query_max(id[x], id[y], 1, cnt, 1));
        return ans;
    }
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        read(n);
        for (int i = 1, x, y; i < n; ++ i) {
            read(x), read(y);
            add(x, y), add(y, x);
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) read(w[i]);
        f[1] = 0, dep[1] = 1;
        dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
        build(1, n, 1);
        read(m);
        for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
            cin >> s;
            if (s == "CHANGE") read(x), read(y), update(id[x], y, 1, n, 1);
            if (s == "QMAX") read(x), read(y), printf("%d
    ", query_chain_max(x, y));
            if (s == "QSUM") read(x), read(y), printf("%d
    ", query_chain_sum(x, y));
        }
        return 0;
    }
    P2590

    P3128 [USACO15DEC]最大流Max Flow

    //路径最值
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 2e5 + 10;
    int n, m, num, cnt;
    int head[N], f[N], top[N], son[N], size[N], dep[N], id[N];
    struct node {
        int v, nx;
    } e[N];
    
    struct tree {
        int mx;
        int lazy;
    } t[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T>inline void read(T &x) {
        x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return;
    }
    
    inline void add(int u, int v) {
        e[++num].nx = head[u], e[num].v = v, head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++cnt;
        top[u] = t;
        if (son[u]) dfs2(son[u], t);
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v, v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        t[rt].mx = max(t[lson].mx, t[rson].mx);
    }
    
    void build(int l, int r, int rt) {
        if (l == r) return ;
        int m = (l + r) >> 1;
        build(l, m, lson);
        build(m + 1, r, rson);
    }
    
    void pushdown(int rt) {
        if (t[rt].lazy) {
            t[lson].lazy += t[rt].lazy;
            t[rson].lazy += t[rt].lazy;
            t[lson].mx += t[rt].lazy;
            t[rson].mx += t[rt].lazy;
            t[rt].lazy = 0;
        }
    }
    
    void update(int L, int R, int c, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) {
            t[rt].lazy += c;
            t[rt].mx += c;
            return;
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        pushdown(rt);
        if (L <= m) update(L, R, c, l, m, lson);
        if (R > m) update(L, R, c, m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return t[rt].mx;
        int m = (l + r) >> 1, ans = -0x3f3f3f3f;
        if (L <= m) ans = max(ans, query(L, R, l, m, lson));
        if (R > m) ans = max(ans, query(L, R, m + 1, r, rson));
        return ans;
    }
    
    void update_chain(int x, int y) {
        int fx = top[x], fy = top[y];
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            update(id[fx], id[x], 1, 1, cnt, 1);
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        update(id[x], id[y], 1, 1, cnt, 1);
    }
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        read(n), read(m);
        for (int i = 1, x, y; i < n; ++i) {
            read(x), read(y);
            add(x, y), add(y, x);
        }
        f[1] = 0, dep[1] = 1;
        dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
        build(1, n, 1);
        for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
            read(x), read(y);
            if (x > y) swap(x, y);
            update_chain(x, y);
        }
        printf("%d
    ", query(id[1], id[1] + size[1] - 1, 1, n, 1));
        return 0;
    }
    P3128

    P4114 Qtree1

    //树链剖分,但是要转换一下,把边权转化为所连向点的点权,查询的时候要忽略最上面的点
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 1e6 + 10;
    int n, num, cnt, x, y, z;
    int dep[N], f[N], top[N], size[N], son[N], a[N], w[N], head[N], mx[N], id[N];
    struct node {
        int v, nx, w;
    } e[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T>inline void read(T &x) {
        x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return ;
    }
    
    inline void add(int u, int v, int w) {
        e[++num].nx = head[u], e[num].v = v, e[num].w = w, head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                w[v] = e[i].w;
                dfs1(v, u);
                size[u] += size[v];
                if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u, int t) {
        id[u] = ++cnt;
        a[cnt] = w[u];
        top[u] = t;
        if (son[u]) dfs2(son[u], t);
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if (v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v, v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        mx[rt] = max(mx[lson], mx[rson]);
    }
    
    void build(int l, int r, int rt) {
        if (l == r) {
            mx[rt] = a[l];
            return ;
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        build(l, m, lson);
        build(m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    void update(int L, int c, int l, int r, int rt) {
        if (l == r) {
            mx[rt] = c;
            return ;
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        if (L <= m) update(L, c, l, m, lson);
        else update(L, c, m + 1, r, rson);
        pushup(rt);
    }
    
    int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
        if (L <= l && r <= R) return mx[rt];
        int m = (l + r) >> 1, ans = -0x3f3f3f3f;
        if (L <= m) ans = max(ans, query(L, R, l, m, lson));
        if (R > m) ans = max(ans, query(L, R, m + 1, r, rson));
        return ans;
    }
    
    int query_chain(int x, int y) {
        int fx = top[x], fy = top[y], ans = -0x3f3f3f3f;
        while (fx != fy) {
            if (dep[fx] < dep[fy]) swap(x, y), swap(fx, fy);
            ans = max(ans, query(id[fx], id[x], 1, cnt, 1));
            x = f[fx], fx = top[x];
        }
        if (id[x] > id[y]) swap(x, y);
        ans = max(ans, query(id[x] + 1, id[y], 1, cnt, 1));
        return ans;
    }
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        read(n);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            read(x), read(y), read(z);
            add(x, y, z), add(y, x, z);
        }
        f[1] = 0, dep[1] = 1;
        dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
        build(1,n,1);
        while (1) {
            string s;
            cin >> s;
            if (s == "QUERY") {
                read(x), read(y);
                if (x == y) printf("0
    ");
                else printf("%d
    ", query_chain(x, y));
            }
            else if (s == "CHANGE") {
                read(x), read(y);
                x = (x << 1) - 1;
                update(id[e[x].v],y,1,n,1);
            }
            else break;
        }
        return 0;
    }
    P4114

     P3038 [USACO11DEC]牧草种植Grass Planting

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 4e5 + 10;
    int n,m,cnt,num;
    int top[N],f[N],son[N],size[N],id[N],head[N],dep[N];
    struct node {
        int v,nx;
    }e[N];
    struct tree {
        int sum;
        int lazy;
    }t[N];
    
    #define lson rt << 1
    #define rson rt << 1 | 1
    
    template<class T>inline void read(T &x) {
        x = 0;int f = 0;char ch = getchar();
        while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'),ch = getchar();
        while(isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();
        x = f ? -x : x;
        return; 
    }
    
    inline void add(int u,int v) {
        e[++num].nx = head[u],e[num].v = v,head[u] = num;
    }
    
    void dfs1(int u,int fa) {
        size[u] = 1;
        for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if(v != fa) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                f[v] = u;
                dfs1(v,u);
                size[u] += size[v];
                if(size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
            }
        }
    }
    
    void dfs2(int u,int t) {
        top[u] = t;
        id[u] = ++cnt;
        if(son[u]) dfs2(son[u],t);
        for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nx) {
            int v = e[i].v;
            if(v != f[u] && v != son[u]) dfs2(v,v);
        }
    }
    
    inline void pushup(int rt) {
        t[rt].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;
    }
    
    inline void pushdown(int l,int r,int rt) {
        if(t[rt].lazy) {
            t[lson].lazy += t[rt].lazy;
            t[rson].lazy += t[rt].lazy;
            t[lson].sum += t[rt].lazy * l;
            t[rson].sum += t[rt].lazy * r;
            t[rt].lazy = 0;
        }
    }
    
    void update(int L,int R,int l,int r,int rt) {
        if(L <= l && r <= R) {
            t[rt].sum += (r - l + 1);
            t[rt].lazy += 1;
            return ;
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        pushdown(m - l + 1,r - m,rt);
        if(L <= m) update(L,R,l,m,lson);
        if(R > m) update(L,R,m + 1,r,rson);
        pushup(rt);
    }
    
    int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
        if(L <= l && r <= R) return t[rt].sum;
        int m = (l + r) >> 1,ans = 0;
        pushdown(m - l + 1,r - m,rt);
        if(L <= m) ans += query(L,R,l,m,lson);
        if(R > m) ans += query(L,R,m + 1,r,rson);
        return ans;
    }
    
    void update_chain(int x,int y) {
        int fx = top[x],fy = top[y];
        while(fx != fy) {
            if(dep[fx] < dep[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy);
            update(id[fx],id[x],1,cnt,1);
            x = f[fx],fx = top[x];
        }
        if(id[x] > id[y]) swap(x,y);
        update(id[x] + 1,id[y],1,cnt,1);
    }
    
    int query_chain(int x,int y) {
        int fx = top[x],fy = top[y],ans = 0;
        while(fx != fy) {
            if(dep[fx] < dep[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy);
            ans += query(id[fx],id[x],1,cnt,1);
            x = f[fx],fx = top[x];
        }
        if(id[x] > id[y]) swap(x,y);
        ans += query(id[x] + 1,id[y],1,cnt,1);
        return ans;
    }
    
    int main(int argc, char const *argv[]) {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        read(n),read(m);
        for(int i = 1,x,y; i < n; ++i) {
            read(x),read(y);
            add(x,y),add(y,x);
        }
        f[1] = 0,dep[1] = 1;
        dfs1(1,0),dfs2(1,1);
        for(int i = 1,x,y; i <= m; ++ i) {
            char c;
            cin>>c;
            read(x),read(y);
            if(c == 'P') update_chain(x,y);
            else printf("%d
    ", query_chain(x,y));
        }
        return 0;
    }
    P3038

    P3258 [JLOI2014]松鼠的新家

    SP375 QTREE - Query on a tree

    如果哪里有错误或不易理解,还请不吝赐教
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