桶排序

从《基于比较的排序结构总结 》中我们知道：全依赖“比较”操作的排序算法时间复杂度的一个下界O(N*logN)。但确实存在更快的算法。这些算法并不是不用“比较”操作，也不是想办法将比较操作的次数减少到 logN。而是利用对待排数据的某些限定性假设 ，来避免绝大多数的“比较”操作。桶排序就是这样的原理。

桶排序的基本思想

 假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ，将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ，那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。

[桶—关键字]映射函数

      bindex=f(key)   其中，bindex 为桶数组B的下标(即第bindex个桶), k为待排序列的关键字。桶排序之所以能够高效，其关键在于这个映射函数，它必须做到：如果关键字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i-1)中最大数据。很显然，映射函数的确定与数据本身的特点有很大的关系，我们下面举个例子：

假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序后得到如下图所示：

对上图只要顺序输出每个B[i]中的数据就可以得到有序序列了。

桶排序代价分析

桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中划分，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。

对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分：

(1) 循环计算每个关键字的桶映射函数，这个时间复杂度是O(N)。

(2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序，其时间复杂度为  ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。

很显然，第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此，我们需要尽量做到下面两点：

(1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量。

(2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。当然，做到这一点很不容易，数据量巨大的情况下，f(k)函数会使得桶集合的数量巨大，空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。

对于N个待排数据，M个桶，平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为：

             O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)

当N=M时，即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。

总结： 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N，桶数量M越大，其效率越高，最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M)，如果输入数据非常庞大，而桶的数量也非常多，则空间代价无疑是昂贵的。此外，桶排序是稳定的。

其实我个人还有一个感受：在查找算法中，基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。大家好好体会一下：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?

桶排序在海量数据中的应用

一年的全国高考考生人数为500 万，分数使用标准分，最低100 ，最高900 ，没有小数，你把这500 万元素的数组排个序。

分析：对500W数据排序，如果基于比较的先进排序，平均比较次数为O(5000000*log5000000)≈1.112亿。但是我们发现，这些数据都有特殊的条件：  100=<score<=900。那么我们就可以考虑桶排序这样一个“投机取巧”的办法、让其在毫秒级别就完成500万排序。

方法：创建801(900-100)个桶。将每个考生的分数丢进f(score)=score-100的桶中。这个过程从头到尾遍历一遍数据只需要500W次。然后根据桶号大小依次将桶中数值输出，即可以得到一个有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人，501分有***人。

实际上，桶排序对数据的条件有特殊要求，如果上面的分数不是从100-900，而是从0-2亿，那么分配2亿个桶显然是不可能的。所以桶排序有其局限性，适合元素值集合并不大的情况。

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用java写了个版本

import com.gxf.util.Node;
import com.gxf.util.Util;

/**
 * 桶排序
 * @author GXF
 *
 */
public class BucketSort {

    public static void main(String[] args) {
        BucketSort bucketSort = new BucketSort();
        int nums[]={49,38,65,97,76,13,27,49};
        Util.showIntArray(nums);
        bucketSort.bucketSort(nums);
        Util.showIntArray(nums);
    }
    
    /**
     * 桶排序
     * @param nums
     */
    public void bucketSort(int nums[]){
        //所有的桶
        Node bucketTable[] = new Node[10];
        for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){
            bucketTable[i] = new Node(0);
        }//for
        
        //进行桶排序
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            Node nodeToInsert = new Node(nums[i]);
            //计算桶序号，索引
            int bucketIndex = nums[i] / 10;
            //如果对应的桶为空，直接添加
            if(bucketTable[bucketIndex].key == 0)
            {
                bucketTable[bucketIndex].next = nodeToInsert;
                bucketTable[bucketIndex].key++;
            }//if
            else{                            
                Node head = bucketTable[bucketIndex];
                while(head.next != null && head.next.key < nums[i])
                    head = head.next;
                nodeToInsert.next = head.next;
                head.next = nodeToInsert;
                bucketTable[bucketIndex].key++;
            }//else
        }//for
        
        //将桶中的数据放到原数组中
        int arrayIndex = 0;
        for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){
            if(bucketTable[i].key != 0){
                Node head = bucketTable[i].next;
                while(head != null){
                    nums[arrayIndex++] = head.key;
                    head = head.next;
                }//while
            }//if
        }//for
    }
    
    

}

针对

一个字符数组，里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序

用桶排序实现了一下

import com.gxf.util.CharNode;
import com.gxf.util.Util;

/**
 * 用桶排序对字符数组排序
 * 里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序
 * @author GXF
 *
 */
public class BucketSortCharArray {

    public static void main(String[] args) {
        String string = "asdfasdfa16a5f6d6546d5f46sa5d4f4F6AS5F4A6D4FFa4fa56d4fa";
        char array[] = string.toCharArray();
        BucketSortCharArray bucketSortCharArray = new BucketSortCharArray();
        Util.showCharArray(array);
        bucketSortCharArray.bucketSortCharArray(array);
        Util.showCharArray(array);

    }
    
    /**
     * 使用桶排序对字符数组进行排序
     * @param array
     */
    public void bucketSortCharArray(char array[]){
        //这里只需要3个桶就okay了
        CharNode bucketTable[] = new CharNode[3];
        //初始化桶
        for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){
            bucketTable[i] = new CharNode(' ');
        }//for
        
        //开始桶排序
        for(int i = 0; i < array.length; i++){
            CharNode nodeToInsert = new CharNode(array[i]);
            int bucketIndex = getBucketIndext(array[i]);
            
            //如果对应的桶为空
            if(bucketTable[bucketIndex].next == null)
                bucketTable[bucketIndex].next = nodeToInsert;
            else{
                CharNode head = bucketTable[bucketIndex];
                while(head.next != null && head.next.val < array[i])
                    head = head.next;
                nodeToInsert.next = head.next;
                head.next = nodeToInsert;
            }//else
        }//for
        
        //遍历所有桶的数据，将数据放到原数组中
        int arrayIndex = 0;
        for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){
            CharNode head = bucketTable[i].next;
            while(head != null){
                array[arrayIndex++] = head.val; 
                head = head.next;
            }//while
        }
    }
    
    /**
     * a-z、A-Z、0-9
     * @param element
     * @return
     */
    private int getBucketIndext(char element){
        if(element >= 'a' && element <= 'z')
            return 0;
        else if(element >= 'A' && element <= 'Z')
            return 1;
        return 2;
    }

}

-------------------------------------------------------------我是分割线，下面是快速排序的实现---------------------------------------------------------------

import com.gxf.util.Util;

/**
 * 对字符数组进行排序
 * @author GXF
 * 里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序
 *
 */
public class SortCharArray {

    public static void main(String[] args) {
        String string = "affasfasdf1656546sg6a5s4g6d4F4A65FD4A6F4AF65FAFfdf46f4s6f4a6fF6AD5F46E4F3";
        
        char array[] = string.toCharArray();
        Util.showCharArray(array);
        
        SortCharArray sortCharArray = new SortCharArray();
        sortCharArray.sort(array);
        
        Util.showCharArray(array);

    }
    
    private void sort(char array[]){
        if(array == null || array.length == 0)
            return;
        sort(array, 0, array.length - 1);
    }
    
    public void sort(char array[], int start, int end){
        if(start < end){
            int index = partion(array, start, end);
            sort(array, start, index - 1);
            sort(array, index + 1, end);
        }//if
    }
    
    /**
     * 一次划分
     * @param array
     * @param start
     * @param end
     * @return
     */
    private int partion(char array[], int start, int end){
        char key = array[start];
        while(start < end){
            while(start < end && !compare(array, key, end))
                end--;
            array[start] = array[end];
            while(start <end && compare(array, key, start))
                start++;
            array[end] = array[start];
        }//while
        array[start] = key;
        return start;
    }
    
    /**
     * 比较char[position] 和 key大小
     * key > char[position] true else false
     * @param array
     * @param key
     * @param position
     * @return
     */
    private boolean compare(char array[], char key, int position){
        int keyVal = getCharIntVal(key);
        int positionVal = getCharIntVal(array[position]);
        
        return keyVal - positionVal > 0 ? true : false;
    }
    
    /**
     * 获取字符对应的整型值
     * @param charElement
     * @return
     */
    private int getCharIntVal(char charElement){
        if(charElement >= '0' && charElement <= '9')
            return charElement + 'Z';
        if(charElement >= 'a' && charElement <= 'z')
            return charElement - 'z';
        return (int)charElement;
    }
}

 一个很形象的桶排序动态图

http://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BucketSort.html

参考：

http://hxraid.iteye.com/blog/647759