不知道为啥之前那篇突然锅了打开就出错,于是重发了遍,加了$latex$(虽然事实上并没有啥意义$QwQ$
定义
线性基其实就是构造出一组序列$p_0,p_1,...,p_n$,使得这组序列等价于原集合且最小.
可以理解为原集合的一个压缩
umm其实我觉得定义没有太大的用再了解下性质就可以进入正题辣
线性基有一些性质：
1.线性基的异或集合中不存在$0$,也就是说,$eta$是$V$中线性无关的极大子集
2.线性基中每个元素的异或方案唯一,也就是说,线性基中不同的异或组合异或出的数都是不一样的(这个与性质1其实是等价的.因为线性无关鸭$QwQ$
3.线性基的二进制最高位互不相同
4.如果线性基是满的,它的异或集合取值范围为$[1,2^n-1]$
5.线性基中元素互相异或,异或集合不变(因为它是个压缩,能$get$趴?
然后就港下操作和应用好了$quqqqqq$
应用的话目前学到了的有三种:
首先最直接的可以用来高斯消元处理线性相关
然后还可以求,第$k$大
然后求异或和最大的时候用它可以按位贪心了
$umm$然后港下它滴实现?
构造:
直接对读入的数二进制地从前往后扫
如果扫到一个位置是$1$就判断一下,如果已经有这一位是$1$的数了就异或一下这个最高位是$1$的数
如果没有最高位这里是1的数就放进去并停止扫描
然后就成功构造完成辣!
可以发现这样的话我们放入一个数就只会有俩结果
第一个,能扫到,于是在过程中就会被放进去并停止扫描
第二个,一直到了最后它变成$0$就退出了,这就说明它是能被表示出来的了(就可以把所有把它的有$1$的位数作为最高位的线性基异或起来就能表示出来,$get$?
还是,放下代码趴
合并:
线性基的合并就直接合并就好了鸭,放下代码$QwQ$
查询是否能表示出:
在插入那一段中我们港,如果它变成$0$说明它可以表示出来了,所以我们就能$get$辣,直接$insert$操作修改一下就欧克
查询$max$:
两种,分别港下$QwQ$
第一个是可以直接每次判断异或这个基底之后会不会变大,会就异或就欧克
另一种因为和后面那个第$K$大一块儿说所以看后面趴$QAQ$
查询第$k$大:
就构造完线性基之后对它$rebuild$一下,使得每一位最多有一个数为$1$
具体的实现就跟高斯消元似的搞下就好
然后假如当前位为$1$,且后面有$cnt$位,显然比它小的就是有$2^cnt$个($0$这种细节什么的特殊考虑下就好,,,
然后就欧克了,也放下代码趴$QwQ$
最后放下题单,,,都是些比较基础的,只有线性基的知识点的题目$QwQ$
(有几个[x]的链接是题解,,,其他的是题目$QwQ$
[X] 线性基模板
[X] 元素
[X] 新Nim游戏
[X] 最大XOR和路径
[X] 幸运数字
[ ] 玛里苟斯
[ ] albus就是要第一个出场
[X] XOR