算法的时间复杂的分析(推导大O())

1、算法的时间复杂的分析定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，

记作T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进算法时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

一般用大写O()来表示算法的时间复杂度写法，通常叫做大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)：常数阶

O(n)：线性阶

O(n²)：平方阶

O(logn):对数阶

2、推导大O阶的方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
   

3、看几个例子

3.1常数阶：

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行一次*/
printf("%d",sum);            /*执行一次*/

这个算法的运行次数f(n) = 3,根据推导大O阶的方法，第一步是将3改为1，在保留最高阶项是，它没有最高阶项，因此这个算法的时间复杂度为O(1);

另外我们将sum  = (1+n)*n/2;执行10次

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第1次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第2次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第3次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第4次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第5次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第6次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第7次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第8次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第9次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第10次*/
printf("%d",sum);            /*执行一次*/

上面的两段代码中，其实无论n有多少个，本质是是3次和12次的执行差异。这种与问题的大小无关，执行时间恒定的算法，成为具有O(1)的时间复杂度，又叫做常数阶。

注意：不管这个常数是多少，3或12，都不能写成O(3)、O(12)，而都要写成O(1)，这一点要特别注意。

此外，对于分支结构而言，无论真假执行的次数都是恒定不变的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

3.2线性阶

线性阶的循环结构会复杂一些，要确定某个算法的阶次，需要确定特定语句或某个语句集运行的次数。因此要分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况。

此时得到时间复杂的为O(n)

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
  printf("%d ",i);/*时间复杂度为O(1)的程序*/      
}

3.3平方阶

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < n ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

上面的程序中，对于对于内层循环，它的时间复杂度为O(n)，但是它是包含在外层循环中，再循环n次，因此这段代码的时间复杂度为O(n²)。

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < m ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

但是，如果内层循环改成了m次，时间复杂度就为O(n*m)

再来看一段稍微复杂一点的程序

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = i ; j < n ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

这段代码的时间复杂度又是多少呢？

分析一下：外层循环执行n次，每执行一次，内层的循环次数就比上一次减一

注意：上面的内层循环j = i ;而不是0

因为i = 0时，内层循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次……当i=n-1时，执行了1次，所以总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-1)+...+1 = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂  =  n²/₂ + _ⁿ/₂

根据大O推导方法，保留最高阶项，n²/₂ ，然后去掉这个项相乘的常数，1/2 

因此，这段代码的时间复杂度为O(n²)

3.4对数阶

int count = 1;
while(count < n){
  count = count * 2;
  /*时间复杂度为O(1)的程序*/    
}

因为每次count*2后，距离结束循环更近了。也就是说有多少个2 相乘后大于n，退出循环。

数学公式：2^x = n    -->     x = log₂ⁿ

因此这个循环的时间复杂度为O(logn)

3.5调用函数时的时间复杂度计算方法：

int i,j;

void function(int count){
  print(count);  
}

for(i = 0 ; i < n ; i++){
  function (i)  
}

这个时候就可以直接把函数体放到循环内部，然后进行判断。

函数的时间复杂度是O(1)，因此整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是这样的：

void function(int count){
  int j;
  for(j = count ; j < n ;j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序*/
 }
}

和第一个的不同之处在于函数体的内容改变了，变成了线性阶，所以可以把整体看成平方阶，因此最终的时间复杂度为O(n²)

最后看一个比较复杂的

n++;                                      /*执行次数为1*/
function(n);                              /*执行次数为n*/
int i,j;
for(i = 0 ; i < n ; i++){                 /*执行次数为nXn*/
  function(i);  
}
for(i = 0 ; i < n ; i++){                /*执行次数为n(n+1)/2*/
  for(j = i ; j < n ; j++){
      /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
  }  
}    

它的执行次数f(n) = 1 + n + n² + ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ + ³/₂n²+³/₂ n+1,

根据推导大O阶的方法，最终它的时间复杂度为：O(n²)

常见的时间复杂的

执行次数函数	阶	术语描述
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n+20	O(log2n)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlog2n阶
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

时间复杂度所耗费的时间是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) <O(2ⁿ) < O(n!) <O(nⁿ)

参考文献：《大话数据结构》

https://www.cnblogs.com/fanchangfa/p/3868696.html