On the Hegselmann-Krause conjecture in opinion dynamics
摘要
我们给出了Hegselmann和Krause在观点动力学中关于对称有界置信区间模型的一个猜想的一个初步证明：如果存在一个真理，并且所有个体都以远离零的正数量认真对待对方，那么所有真理寻求者都将收敛到真理。在这里，真理寻求者是被真理所吸引的正数量的个体。在没有寻求真理者的情况下，赫格斯曼和克劳斯已经表明，个人的意见是一致的。
1 介绍
我们肯定地回答了Hegselmann和Krause提出的一个猜想，即在有限的个体群体中，意见的长期行为，其中一些人被真理所吸引，即所谓的真理寻求者。我们的贡献：在温和的假设下，所有寻求真理的人的意见都会趋同于真理，尽管他们被不被真理所吸引的人、无知者分散了注意力。
意见动力学的基本模型是有界置信模型：意见本身在单位区间内用实数表示，通过平均的方法受他人意见的影响，但只有在不太远的情况下。这种有界置信模型（下面的形式定义）是Krause在1997年首次提出的。它在人工社会和社会模拟界受到了相当多的关注[1-6]。
“真理寻求者”的概念是由Hegselmann和Krause于2006年提出的(链接)，同时还对真理概念的科学背景进行了哲学讨论。我们忽略了这里的哲学讨论，把重点放在由此产生的动力系统上，由我们自己感兴趣的差分方程所控制。
真理探索者的意见不仅被他人的意见所吸引；他们还被一个不变的数字，真理所吸引。所得结论是原有界置信动态结果与真值的加权平均。在这个意义上，没有被真理吸引的人是无知者。在他们的论文中，Hegselmann和Krause表明，如果所有的个体都是真理寻求者——不管权重有多小——那么（所有个体的意见）都会在真理价值上达成共识。
我们在这篇论文中回答的问题是，当一些人是无知者时，即真理的影响力对他们来说是零。大量的模拟实验导致了赫格斯曼和克劳斯的猜想，即所有寻求真理者的意见最终都会以真理告终。然而，到目前为止还找不到这一事实的证据。然而，仅通过模拟得到的证据就承担着数字人工制品的风险——在非连续有界置信模型中更是如此。因此，对有界置信动力学的结构性质提供严格的数学证明是可取的。
即使是在肯定的情况下，收敛性在一般情况下也是相当缓慢的，而且远远不是单调的。主要困难在于：寻求真理者的趋同在很大程度上取决于他们对无知者的长期影响。根据无知者的配置和系统的参数，有任意多个迭代中其中真理寻求者偏离真理。关键的观察是，在这些迭代过程中，无知者的配置以某种方式得到了“改进”，因为真相寻求者吸引了他们。
毕竟，证明是基本的，但技术性极强。我们引入了一些结构，如置信图，这可能在其他上下文中也被证明是有用的。我们需要的其他结构是相当特殊的，可能除了本文之外使用有限。因此，最好能找到一个更优雅的证据，揭示这一猜想成立的原因。例如：找到一个合适的Lyapunov函数。然而，我们在证明过程中给出的例子表明，由于真与假猜想之间的界限极为狭窄，论点必须捕捉到一定的复杂性。
2 正式问题陈述
抽象的真理被建模为一个随时间变化的常数$hin [0,1]$
意见的更新被建模为信心集中意见的加权算术平均值和对真理的可能吸引。
下图是一个草图：
要证明的定理如下：
3
4
5
6