Leetcode 72. Edit Distance

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

【思路分析】

编辑距离是一道很经典的动态规划的算法题目。

编辑距离，又称Levenshtein距离（莱文斯坦距离也叫做Edit Distance），是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数，如果它们的距离越大，说明它们越是不同。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

这个概念是由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出来的，所以也叫 Levenshtein 距离。它可以用来做DNA分析，拼字检测，抄袭识别等等。总是比较相似的，或多或少我们可以考虑编辑距离。

在概念中，我们可以看出一些重点那就是，编辑操作只有三种。插入，删除，替换这三种操作，我们有两个字符串，将其中一个字符串经过上面的这三种操作之后，得到两个完全相同的字符串付出的代价是什么就是我们要讨论和计算的。

例如： 
我们有两个字符串： kitten 和 sitting: 
现在我们要将kitten转换成sitting 
我们可以做如下的一些操作；

k i t t e n –> s i t t e n 将K替换成S

sitten –> sittin 将 e 替换成i

sittin –> sitting 添加g

在这里我们设置每经过一次编辑，也就是变化（插入，删除，替换）我们花费的代价都是1。

例如：

• 如果str1=”ivan”，str2=”ivan”，那么经过计算后等于 0。没有经过转换。相似度=1-0/Math.Max(str1.length,str2.length)=1

• 如果str1=”ivan1”，str2=”ivan2”，那么经过计算后等于1。str1的”1”转换”2”，转换了一个字符，所以距离是1，相似度=1-1/Math.Max(str1.length,str2.length)=0.8

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算法过程

1.str1或str2的长度为0返回另一个字符串的长度。 if(str1.length==0) return str2.length; if(str2.length==0) return str1.length;

2.初始化(n+1)*(m+1)的矩阵d，并让第一行和列的值从0开始增长。扫描两字符串（n*m级的），如果：str1[i] == str2[j]，用temp记录它，为0。否则temp记为1。然后在矩阵d[i,j]赋于d[i-1,j]+1 、d[i,j-1]+1、d[i-1,j-1]+temp三者的最小值。

3.扫描完后，返回矩阵的最后一个值d[n][m]即是它们的距离。

计算相似度公式：1-它们的距离/两个字符串长度的最大值。

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其实这个算法并不难实现 
我们用字符串“ivan1”和“ivan2”举例来看看矩阵中值的状况：

1、第一行和第一列的值从0开始增长 
 
图一

首先我们先创建一个矩阵，或者说是我们的二维数列，假设有两个字符串，我们的字符串的长度分别是m和n，那么，我们矩阵的维度就应该是(m+1)*(n+1).

注意，我们先给数列的第一行第一列赋值，从0开始递增赋值。我们就得到了图一的这个样子

之后我们计算第一列，第二列，依次类推，算完整个矩阵。

我们的计算规则就是： 
d[i,j]=min(d[i-1,j]+1 、d[i,j-1]+1、d[i-1,j-1]+temp) 这三个当中的最小值。

其中：str1[i] == str2[j]，用temp记录它，为0。否则temp记为1

我们用d[i-1,j]+1表示增加操作 
d[i,j-1]+1 表示我们的删除操作 
d[i-1,j-1]+temp表示我们的替换操作

2、举证元素的产生 Matrix[i - 1, j] + 1 ; Matrix[i, j - 1] + 1 ; Matrix[i - 1, j - 1] + t 三者当中的最小值 

3.依次类推直到矩阵全部生成 

这个就得到了我们的整个完整的矩阵。

【java代码】

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        
        if(len1 == 0) return len2;
        if(len2 == 0) return len1;
        
        int[] dp = new int[len1+1];
        
        for(int j = 0; j <= len1; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        
        for(int i = 1; i <= len2; i++) {
            int pre = dp[0];
            dp[0] = i;
            
            for(int j = 1; j <= len1; j++) {
                int temp = dp[j];
                int k = 0;
                if(word1.charAt(j-1) != word2.charAt(i-1)) k = 1;
                dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j-1], dp[j]) + 1, pre+k);
                pre = temp;
            }
         }
        
        return dp[len1];
    }
}