民科吧编程赛 题解

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评：没几个人做呀，是因为我的知名度不如小梦，还是出的太难了？

1.选择题

【题目简介】

只允许使用四则运算，求出任意正数 $ x $ 的自然对数 $ ln (x) $

【思路&解答】

由于无法使用 $ ln $ 函数，所以普通的方法，如二分法，牛顿法等依托原函数的迭代法无法使用。

考虑到 $ ln (x)$ 的特殊性质 $ ln (x) ' =  frac{1}{x} $ ，可以使用积分方法求出。

 自适应辛普森法（推导过程不再给出）

$  int  _a ^b f(x) d x approx dfrac{(b-a)(f(a)+f(b)+4f( frac{a+b}{2} )}{6} $

递归计算精度是否满足要求，具体过程不再给出。

值得点出的是， 当 $ x>1 $时，要 $ x = 1$ 从开始进行正积分，当 $ 0<x<1 $ 时，要从 $x=1$ 开始进行负积分，否则误差会很大。

注意不要使用 $ln(ab)= ln a + ln b$ 和近似公式来完成这道题。因为为了用这个你可能还得写上上百行代码，而且亲测使用近似公式的话即使在取到也会有的偏差。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
long double a,l2=1,r;
double f(double x){
    return  1/x;
}
double simps(double a,double b){
    double c=(a+b)/2.0;
    return (f(a)+f(b)+4.0*f(c))*(b-a)/6.0;
}
double zsy(double a,double b,double eps){
    double c=(a+b)/2.0;
    double mid=simps(a,b),L=simps(a,c),R=simps(c,b);
    if(fabs(L+R-mid)<=15*eps)return L+R+(L+R-mid)/15.0;
    return zsy(a,c,eps/2.0)+zsy(c,b,eps/2.0);
}
int main(){
    cin>>r;
    if(r<1)cout<<fixed<<setprecision(6)<<"-"<<zsy(r,1,eps);
    else cout<<fixed<<setprecision(6)<<zsy(l2,r,eps);
}

 

填空题

 

这道题是被骂的最狠的一道。因为导数太毒瘤。

此题难点在于 $ sin x $ 函数的四则运算表达和函数最值的计算。

可以通过公式 $ lim limits_{Delta x o 0} sin{x} = x $ 和二倍角公式 $ sin( alpha + eta )= sin alpha cos eta +sin eta cos alpha $ 进行计算。

函数计算代码如下：

//没有加诱导公式
const double init=0.0001;
const double pi=3.14159265;
double sinx[15]={0.0001,0.0002,0.0004,0.0008,0.0016,0.00319999,0.00639996,0.01279965,0.02559720,0.05117763,0.10222114,0.20337134,0.39824245,0.73059982,0.99771574};
long double getsin(long double x){
    if(x<=init)return x;
    int bei=14;
    while(bei--){
        if(x==(init*(1<<bei)))return sinx[bei];
        if(x>(init*(1<<bei))){
            long double tmpS=getsin(x-init*(1<<bei));
            long double tmpC=sqrt(1-tmpS*tmpS);
            return tmpS*sqrt(1-sinx[bei]*sinx[bei])+tmpC*sinx[bei];
        }
    }
}

 

开平方函数四则运算计算方法不再赘述。

 

观察函数，下面恒 $>0$，上面的函数很容易看出来 $0<x< frac{b}{a} , f(x)<0 ;$ $x> frac{b}{a} , f(x)>0$

 

再看分母，当$x$很大时函数基本为0，所以可以使用爬山法求最值。

 

爬山法：

随机取一点，判断该点处是上坡还是下坡，上坡则将该点往前进，下坡则往后退，多次迭代后可求出最值。

为了防止出现该点卡在题图中给出的双峰函数比较小的峰上，可以多次随机取点得到最大值。

本题当然也可使用快速傅里叶变换，但很显然为了这么简单一道题用这么复杂的算法很不值得……

注意玄学错误：l和r会卡在两个相对山峰上出不来，这时候得判一判

不过还是建议使用一个变量

 

双变量代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,ans,delta=1e-6;
long double f(double x) {
	return (a*x*x*x-b*x*x)/(exp(x*x-sin(x)-1));
}
double getdel(double x) {
	return f(x+delta)-f(x);
}
void pa() {
	double l=b/a;
	double r=(double)rand()/100;
	while(r-l>1e-6) {
		double step=(r-l)/100;
		if(getdel(l)<1e-8)l-=step; //注意玄学错误：l和r会卡在两个相对山峰上出不来，这时候得判一判
		if(getdel(r)>1e-8)r+=step;//不过还是建议使用一个变量
		if(getdel(l)>1e-8)l+=step;
		if(getdel(r)<1e-8)r-=step;
	}
	ans= ans>f(l)? ans:f(l);
}
int main() {
	srand(time(NULL));
	cin>>a>>b;
	for(register int i=3; i; i--)pa();
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans;
	return 0;
}

 

单变量代码（还没优化……容易被卡）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,ans,delta=1e-6;
long double f(double x) {
	return (a*x*x*x-b*x*x)/(exp(x*x-sin(x)-1));
}
double getdel(double x) {
	return f(x+delta)-f(x);
}
void pa() {
	double as=(double)rand()/1000;
	double step=1;
	double t=100;
	while(abs(t)>1e-7) {
		t=getdel(as);
		step=t;
		if(getdel(as)<0)as-=step;
		if(getdel(as)>0)as+=step;
	}
	ans= ans>f(as)? ans:f(as);
}
int main() {
	srand(time(NULL));
	cin>>a>>b;
	for(register int i=10; i; i--)pa();
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans;
	return 0;
}

　　

 

3.解答题

 

这次民科吧大赛出的最失败的一道题，本来想的只能用模拟退火写的题被左茂雄老师一个质心公式秒掉……

题目灵感源于： [JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX

 

1.质心公式法：

 

$ x_{ sigma} = dfrac { sum _{ i=1 } ^ { n } x_i m_i}{ sum_ {i=1}^{n}m_i} $

$ y_{ sigma} = dfrac { sum _{ i=1 }^{n}y_i m_i}{sum_{i=1}^{n}m_i} $

 

2.模拟退火：

1.随机出来一个质心并通过该质心得到各质点矢径

2.计算各质点对质心的贡献向量并相加。

3.向着加和方向走一点点

4.迭代回到第二步，直到无路可走，该点为质心。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
using namespace std;
struct med{
    int x;
    int y;
    int w;
};
med a[1005];
double ansx,ansy,ans=1e18,t;
int n,sx,sy;
const double delta=0.993;
double calce(double x,double y){
    double ret=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        double deltax=x-a[i].x,deltay=y-a[i].y;
        ret+=sqrt(deltax*deltax+deltay*deltay)*a[i].w;
    }
    return ret;
}
void sa(){
    double x=ansx,y=ansy;
    t=3000;
    while(t>1e-17){
        double xx=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*t;
        double yy=y+((rand()<<1)-RAND_MAX)*t;
        double now=calce(xx,yy);
        double Delta=now-ans;
        if(Delta<0){
            x=xx,y=yy;
            ansx=x,ansy=y,ans=now;
        }
        else if(exp(-Delta/t)*RAND_MAX>rand())x=xx,y=yy;
        t*=delta;
    }
}
void solve(){
    ansx=(double)sx/n,ansy=(double)sy/n;
　　　　 while(clock()<0.7)SA();
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    srand(time(NULL));
    cin>>n;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
    }
    solve();
    cout<<fixed<<setprecision(3)<<ansx<<" ";
    cout<<fixed<<setprecision(3)<<ansy;
    return 0;
}