Fibonnacii序列求解通项的线性代数方法
Fibonacci的递归通项
[F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
]
递归的通项的矩阵形式
[left(
egin{matrix}
F_{n+2} \
F_{n+1}
end{matrix}
ight)
=
left(
egin{matrix}
1 & 1 \
1 & 0
end{matrix}
ight)
left(
egin{matrix}
F_{n+1} \
F_{n}
end{matrix}
ight)
=
Aleft(
egin{matrix}
F_{n+1} \
F_{n}
end{matrix}
ight)
]
[left(
egin{matrix}
F_{n} \
F_{n-1}
end{matrix}
ight)
=Aleft(
egin{matrix}
F_{n-1} \
F_{n-2}
end{matrix}
ight)
=…=
A^{n-1}
left(
egin{matrix}
F_1 \
F_0
end{matrix}
ight)
]
计算矩阵幂的方法
直接计算或矩阵对角化。可参考例题
- 矩阵对角化：若(m imes m)矩阵(A)能对角化，则存在可逆矩阵(P)（由(A)的特征向量组成）使得
[P^{-1}AP=diag(lambda_1,...,lambda_m) \
=> AP = Pdiag(lambda_1,...,lambda_m) \
=> A = Pdiag(lambda_1,...,lambda_m)P^{-1} \
]
从而
[A^k = (PDP^{-1})(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD^kP^{-1}=Pdiag(lambda^k_1,...,lambda_m^k)P^{-1}
]
- 由于有对角矩阵，可以把矩阵(P)写成列向量的形式，(P=(vec a_1, vec a_2, ...,vec a_m))，则上面的方程可转化为
[Avec a_i = lambda_ivec a_i, 1leq i leq m
]
其中(vec a_i)是特征向量，(lambda_i)是特征值。
- 求矩阵(A)的特征向量和特征值的方法是，求解下列行列式（也是多项式）的根得到特征值，再求出特征向量，进而得到(P)，直接带入式子求解(A)。
[det(lambda I-A)=0\其中I是单位矩阵（identity-matrix）
]