流浪者(rover)
题目描述
有一位流浪者正在一个n∗mn∗m的网格图上流浪。初始时流浪者拥有SS点体力值。
流浪者会从(1,1)(1,1)走向(n,m)(n,m),并且他只会向下走((x,y)→(x+1,y))((x,y)→(x+1,y))或是往右走((x,y)→(x,y+1))((x,y)→(x,y+1)),在所有可行的路线中他会随机选择一条。
网络图中还有KK个障碍点。若流浪者当前体力值为SS，则他经过一个障碍点后体力值会变为⌈S2⌉⌈S2⌉。
现在请你求出，流浪者到达(n,mn,m)时他体力值的期望是多少。
若答案为abab,则你输出abab在模109+7109+7意义下的值即可。
输入
第一行四个整数n,m,K,Sn,m,K,S, 意义见题目描述。
接下来K行每行两个整数Xi,YiXi,Yi,表示一个障碍点，保证一个障碍点不会出现多次。起点与终点可能也会是障碍点。
输出
仅一行一个整数表示答案。
样例1解释
共有6种合法路径，这里不一一列出。
16∗(6+6+11+3+6+6)=19316∗(6+6+11+3+6+6)=193
约定
30%的数据：n,m≤10n,m≤10
50%的数据：n,m≤1000n,m≤1000
1000%的数据：1≤n,m≤105,0≤K≤min(n∗m,2000),1≤S≤1061≤n,m≤105,0≤K≤min(n∗m,2000),1≤S≤106
solution
slz：经典模型
我：完全不会
30：dfs
50:dp 令f[i][j][k]表示走到i j，经过k个格子的方案数
由于当k>20时对k不同对答案没有影响，最后一维可以只开20
O(nm20)
100:
dp 令f[i][j]表示当前在第i个特殊点，走到终点还会经过恰好j个特殊点的路径数
g[i][j]表示当前在第i个特殊点，走到终点还会经过小于等于j个特殊点的路径数
ways（i,j）表示i到j的路径数
从后往前dp即可
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define maxn 2005
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,K,S,s[24];
ll h[200008],ny[200008],f[maxn][25],g[maxn][23];
ll work(ll a,int num){
ll ans=1;
while(num){
if(num&1)ans=ans*a;
a=a*a;a%=mod;ans%=mod;num>>=1;
}
return ans;
}
struct node{
int x,y;
}p[maxn];
bool cmp(node a,node b){
return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y;
}
ll C(int N,int M){
return h[N]*ny[M]%mod*ny[N-M]%mod;
}
int main()
{
cin>>n>>m>>K>>S;
int Max=200005;h[0]=1;
for(int i=1;i<=Max;i++)h[i]=h[i-1]*i%mod;
ny[Max]=work(h[Max],mod-2);
for(int i=Max-1;i>=0;i--)ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
s[0]=S;int cnt=0;
for(;s[cnt]>1;cnt++)s[cnt+1]=(s[cnt]+1)/2;
for(int i=1;i<=K;i++){
scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
}
sort(p+1,p+K+1,cmp);
p[0].x=1;p[0].y=1;
for(int i=K;i>=0;i--){
int xi=p[i].x,yi=p[i].y;
for(int j=0;j<cnt;j++){
ll sum=0;g[i][j]=C(n-xi+m-yi,n-xi);
for(int k=K;k>i;k--){
if(p[k].y<p[i].y)continue;
int xk=p[k].x,yk=p[k].y;
sum+=f[k][j]*C(xk-xi+yk-yi,xk-xi)%mod;
sum%=mod;
}
g[i][j]-=sum;g[i][j]%=mod;
}
g[i][cnt]=C(n-xi+m-yi,n-xi);
for(int j=1;j<=cnt;j++)f[i][j]=(g[i][j]-g[i][j-1])%mod;
f[i][0]=g[i][0];
}
ll Answer=0;
for(int i=0;i<=cnt;i++){
Answer+=f[0][i]*s[i]%mod;
Answer%=mod;
}
ll All=C(n+m-2,m-1);
Answer=Answer*work(All,mod-2);
Answer=(Answer%mod+mod)%mod;
printf("%lld
",Answer);
return 0;
}