定义：设 $m$ 是正整数 若同余式
$$x^2 equiv a(mod p), (a, p)=1$$
有解，则 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩余（或平方剩余）；否则，$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩余。
欧拉判别条件：
设方程
$$x^2 equiv a (mod p), (a,p)=1,p为奇素数$$
(i) $a$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要条件是
$$a^{frac{p-1}{2}} equiv 1(mod p)$$
(ii) $a$ 是模 $p$ 的二次非剩余的充分必要条件是
$$a^{frac{p-1}{2}} equiv -1(mod p)$$
并且当 $a$ 模 $p$ 的二次剩余时，同余式有两个解。
定理1：$x^2 equiv a(mod p)$ 中有 $frac{p-1}{2}$ 个 $a$ 能使得方程有解
也就说有 $frac{p-1}{2}$ 的二次剩余。
例如，1，2，4是模7的二次剩余，-1，3，5是模4的二次非剩余。
勒让德（Lagendre）符号：
设 $p$ 是素数，定义如下：
$$left({nover p}
ight)=egin{cases}1, p不是n的倍数,n是p的二次剩余\-1, p不是n的倍数，n是p的二次非剩余（不是二次剩余就是非剩余）\0, p是n的倍数
end{cases}$$
有定理1知，$p-1$ 中有一半为1，一半为-1.
根据欧拉判别法则，设 $p$ 是奇素数，对任意整数 $a$，
$$(frac{a}{p}) equiv a^{frac{p-1}{2}} (mod p)$$
二次互反律：若 $p, q$ 是互素奇素数，则
$$(frac{q}{p}) = (-1)^{frac{p-1}{2}cdot frac{q-1}{2}}(frac{p}{q})$$
参考链接：https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204