例1.求$13^2004$除以17的余数.
分析:遇到有关带指数的被除数的问题,我们首先考虑运用同余、互素以及费马小定理或欧拉定理,降次使被除数变小,进而求出余数。
容易直到17为素数,且(13, 17)=1,由费马小定理可知
$$13^{17-1} = 13^{16} equiv 1 (mod 17)$$
又因为$2004=16*125+4$, 所以
$$13^{2004} = 13^{16 imes 125 + 4} equiv {13}^{4}(mod 17)$$
而${13}^4={169}^2={(170-1)}^2equiv {(-1)}^2=1(mod 17)$,
因此$13^{2004} equiv 1(mod 17)$,即$13^{2004}$除以17的余数为1.
例2.求使$5^m equiv 1(mod 21)$成立的最小正整数$m$.
分析:这个式子与欧拉定理的形式相似,且(5, 12)=1,φ(21)容易求出,我们考虑使用欧拉定理.因
为(5, 12)=1,且φ(21)=12(即1~20中与21互素的有12个),由欧拉定理有
$$5^{12} equiv 1(mod 21)$$
显然$mleq {12}$,令$12=mq+r$,其中$0leq rleq m$,则有
$$5^{12}=5^{mq+r}=(5^m)^q imes 5^r$$,
所以$5^requiv 1(mod 21)$,由于m是使同余式成立的最少正整数,所以r=0,从而$m | 12$,检验12的正因数1,2,3,4,6,12,我们发现
$$5^{1} equiv 5(mod 21),\5^{2} equiv 4(mod 21),\ 5^{3} equiv 20(mod 21),\ 5^{4} equiv 16(mod 21), \ 5^{5} equiv 1(mod 21)$$
因此,最小正整数m为6.