Double-Array Trie快速入门
shiqi.cui<cuberub@gmail.com>
May 24, 2009
1. Trie
Trie是一种搜索树，因“Retrieval”而得名。在以Trie树组织的词典里，所有词条的公共前缀是压缩存储的，即只会存储一份，所以又称前缀树。如图所示：
Trie可以理解为确定有限状态自动机，即DFA。在Trie树中，每个节点表示一个状态，每条边表示一个字符，从根节点到叶子节点经过的边即表示一个词条。查找一个词条最多耗费的时间只受词条长度影响，因此Trie的查找性能是很高的，跟哈希算法的性能相当。
2. Trie存储方式
Trie可以按照树的方式存储。每个节点包含n个指针，分别指向n个后续节点，每条边对应着一个输入字符。这样，每个节点的指针个数是跟字符表的大小相关的。如果按照链表的方式组织n个指针，查询的效率会比较低；如果以定长数组表示n个指针，占用的空间会比较大，基本是不可接受的。
Trie也可以按照DFA的方式存储，即表示为转移矩阵。行表示状态，列表示输入字符，(行, 列)位置表示转移状态。这种方式的查询效率很高，但由于稀疏的现象严重，空间利用效率很低。也可以采用压缩的存储方式即链表来表示状态转移，但查询效率无法满足要求。
为了解决上面的问题，有学者依次设计出了Four-Array Trie，Triple-Array Trie和Double-Array Trie结构，其得名源于内部采用的数组的个数。
3. Double-Array Trie
Double-Array Trie包含base和check两个数组。base数组的每个元素表示一个Trie节点，即一个状态；check数组表示某个状态的前驱状态。
base和check的关系满足下述条件：
base[s] + c = t
check[t] = s
其中，s是当前状态的下标，t是转移状态的下标，c是输入字符的数值。如图所示：
4. 查询过程
根据上述公式，查找某个字符串就非常简单。
假设初始状态为t0，字符序列是(c1, c2, …, cn)。那么，输入c1后的状态为t1 = base[t0] + c1，以此类推。
如果到某个状态是不合法的，那么查询失败；如果转到状态tn = base[tn-1] + c，并且tn是结束状态，那么查询成功；如果tn不是结束状态，那么查询失败。
5. 构建过程
首先，初始化base和check数组，元素默认值是0。随机确定初始状态t0及其base值，如t0=0, base[t0]=1。
对于插入词条，计算输入每个字符后的base位置。
如果该位置为空，则表示该位置可以插入，然后转到下一个字符；
如果该位置已有值，表示该位已经被其他的状态占用，这样需要调整其前驱状态的base值，以保证状态不会冲突，这个过程称为relocate。