Tutte 定理与 Tutte–Berge 公式

Tutte theorem

图 (G=(V,E)) 有完美匹配当且仅当满足 (forall Usubseteq V,o(G-U)le|U|,o(X)) 表示 X 子图的奇连通块数。

Tutte–Berge formula

图 (G=(V,E)) 的最大匹配数为 (frac12minlimits_{Usubseteq V}{|U|-o(V-U)+|V|})

Tutte 定理证明

必要性

如果 G 有完美匹配，那么每个奇连通块至少有一个点需要与 U 中的点匹配，故得证.

充分性

定义坏集 S 满足 (|S|<o(G-S)) ，那么图 G 中不能存在坏集。
如果 S 是 G 的坏集，那么 S 也一定是 G 的导出子图的坏集。
于是不妨令 G 满足 G 不存在完美匹配，且加入任意一条不在 G 中的边后存在完美匹配。
令 S 为满足度数为 (|V|-1) 的点集，首先考虑 (G-S) 中的每个连通块都是团的情况，容易发现 S 一定是坏集。
于是 (G-S) 中至少有一个连通块不是团，考虑把这个连通块扯出来讨论，我们找出其中两个没有边直接相连的点 (x,y) ，设从 (x ightarrow y) 最短路上的头三个点为 (a,b,c) ，那么显然 ((a,c) otin E) ，且一定存在点 (d) 满足 ((b,d) otin E) 。
由于上面限制了 G 加入任意一条不在 G 中的边后都存在完美匹配，因此我们设 (M_1) 是 ((V,Ecup(a,c))) 的一组完美匹配， (M_2) 是 ((V,Ecup(b,d))) 的一组完美匹配，显然 ((a,c)in M_1,(M_2)in M_2) （第一次走 (M_1) 的）。
然后定义 P 是在 G 上面从 d 出发，交替走 (M_1,M_2) 中的边得到的最长路径，显然最后会落在 (a,b,c) 点中的一个。
如果落在 b 点，我们令 (C=Pcup(b,d)) ，否则令 (C=Pcup(a/c,b)cup(b,d)) ，这样 C 就是一个偶环，对于 C 我们选择不在 (M_2) 中的边可以形成一组新的匹配，对于 (G-C) 中的点我们按照 (M_2) 中的边匹配，这样就形成了一组新的完美匹配，故得证.

Tutte-Berge 公式与 Tutte 定理等价性证明

定义 (def(G)) 表示图 G 最大匹配中未被覆盖定点数， ( u(G)) 表示 G 的最大匹配数，那么显然有 (def(G)=|V|-2 u(G)).

Tutte-Berge formula (Rightarrow) Tutte theorem

移项即可

Tutte theorem (Rightarrow) Tutte-Berge formula

设 (delta'(G)=maxlimits_{Usubseteq V}{o(V-U)-|U|}) ，并设 (S) 是取得最大值时的 (U) ，即证 (delta'(G)=def(G))。
显然有 (delta'(G)ge0) ，下面根据 (delta'(G)) 的取值进行分类讨论。

1. (delta'(G)=0) ，那么满足 Tutte 定理的条件，整张图存在完美匹配， (delta'(G)=def(G)=0)
2. (delta'(G)>0) ，那么一定有若干奇连通块存在点在 X 中未被覆盖，设该个数为 (x) ，(o(G-X)=y) ，那么一定满足 (xge y-|X|) 和 (xle def(G)) ，因此 (delta'(G)le def(G))成立。
   另一方面，考虑构造一个有 (delta'(G)=0) 个点的完全图 H ，然后跟 G 拼一个新图 (G'=(V_Hcup V_G,E_Hcup E_Gcup{(u,v)|uin V_H,vin V_G}))
   容易在利用 Tutte 定理简单讨论后证明 G' 有完美匹配，因此 (|V_H|=delta'(G)ge def(G)) ，因此 (delta'(G)=def(G)) ，故 Tutte-Berge 公式得证.