最短路
(Floyed)
(n^3)复杂度，数据小可以用，也可以用来判断图是否连通、求环。
for(int k=1;k<=n;k++)//注意中转点在最外层枚举
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);
(SPFA)
广搜求最短路，容易被卡
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
int next,to,w;
}a[500010*5];
int cnt,n,m,s,minn=0x7f,head[500010],dis[500010],exist[500010],team[500010*5],u;
void SPFA(){
for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=2147483647;
memset(exist,0,sizeof(exist));
int h=0,t=1;
dis[s]=0,exist[s]=1,team[1]=s;
while(h<t){
h++,u=team[h],exist[u]=0;
for(int i=head[u],v;v=a[i].to,i;i=a[i].next)
if(dis[v]>dis[u]+a[i].w){
dis[v]=dis[u]+a[i].w;
if(!exist[v]) exist[v]=1,team[++t]=v;
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
a[++cnt].next=head[x],a[cnt].to=y,a[cnt].w=z,head[x]=cnt;
}
SPFA();
for(int i=1;i<=n;++i)
if(dis[i]==66666) cout<<2147483647<<' ';
else cout<<dis[i]<<' ';
return 0;
}
(Dijkstra)堆优化
比较靠谱的算法。思路就是每次选距离已选点集距离最小的点加入点集
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
struct Edge{
int v,w,nxt;
}e[500010];
int head[100010],cnt,n,m,s,dis[100010];
inline void addEdge(int u,int v,int w){
e[++cnt].v=v,e[cnt].w=w,e[cnt].nxt=head[u],head[u]=cnt;
}
struct node{
int u,d;
bool operator <(const node& rhs) const{
return d>rhs.d;
}
};
inline void Dijkstra(){
for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=2147483647;
dis[s]=0;
priority_queue<node> Q;
Q.push((node){s,0});
while(!Q.empty()){
node fr=Q.top();Q.pop();
int u=fr.u,d=fr.d;
if(d!=dis[u]) continue;
for(int i=head[u],v;v=e[i].v,i;i=e[i].nxt)
if(dis[u]+e[i].w<dis[v]){
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
Q.push((node){v,dis[v]});
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=1,x,y,z;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
addEdge(x,y,z);
}
Dijkstra();
for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
二分(+)最短路
n个点，p条边，k个机会将边权变成零，求最短路 。二分很好用（耍流氓）。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf(0x3f3f3f3f);
const double eps(1e-9);
int n,p,k,H[1005],X[20005],P[20005],E[20005],w[20005],d[1005],tot;
bool vis[1005];
inline void add(int x,int y,int z){
P[++tot]=y,X[tot]=H[x],H[x]=tot,E[tot]=z;
}
struct N{
int x,w;
N(int a=0,int b=0){x=a,w=b;}
friend bool operator < (N a,N b){
return a.w>b.w;
}
};
priority_queue<N> q;
bool judge(int lim){
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(E[i]>lim) w[i]=1;
else w[i]=0;
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(vis,0,sizeof vis);
d[1]=0,q.push(N(1,0));
int x;
while(!q.empty()){
x=q.top().x,q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=H[x];i;i=X[i])
if(!vis[P[i]]&&d[P[i]]>d[x]+w[i]){
d[P[i]]=d[x]+w[i];
q.push(N(P[i],d[P[i]]));
}
}
if(d[n]<=k) return 1;
return 0;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&p,&k);
for(int i=0,x,y,z;i<p;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
int l=-1,r=1000000;
if(!judge(1000000)){
puts("-1");
goto ed;
}
int ans;
while(l<=r){
int m=(l+r)>>1;
if(judge(m)) r=m-1,ans=m;
else l=m+1;
}
printf("%d
",r);
ed:return 0;
}
最短路计数
求到每个点有多少条最短路
更新最短路的同时记录有多少条最短路。若有更短的，则条数等于上一个点的最短路条数，若相等则最短路条数(+1)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int mod=100003;
int n,m,head[1000005],cnt,dis[1000005],num[1000005];
bool vis[1000005];
struct node{
int to,next;
}a[4000005];
long long read(){
long long x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void add(int x,int y){
a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],head[x]=cnt;
}
void spfa(){
queue<int>q;
q.push(1),vis[1]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop(),vis[u]=0;
for(int i=head[u],v;v=a[i].to,i;i=a[i].next)
if(dis[v]>dis[u]+1){
dis[v]=dis[u]+1,num[v]=num[u]%mod;
if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1;
}
else if(dis[v]==dis[u]+1) num[v]=(num[v]+num[u])%mod;
}
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
x=read(),y=read();
add(x,y),add(y,x);
}
for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=37022059;
dis[1]=0,num[1]=1;
spfa();
for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d
",num[i]);
return 0;
}
次短路
这是严格次短路。
考虑在什么情况下会更新最短路。
(1、)由父亲节点过来的距离小于最短路，那么当前最短路变成次短路，更新最短路
(2、)若当前距离不能更新最短路，但比次短路小，更新次短路
(3、)若从父亲节点过来的次短路能更新当前次短路，更新次短路
所以，求次短路只需要一遍(SPFA)在更新最短路的时候顺便更新次短路就好了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,head[5005],cnt,dis[2][5005];
bool vis[5005];
struct Dier{
int next,to,w;
}a[200005];
void add(int x,int y,int z){
a[++cnt].next=head[x],a[cnt].to=y,a[cnt].w=z,head[x]=cnt;
}
long long read(){
long long x=0;int f=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){f|=c=='-';c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return f?-x:x;
}
void spfa(){
for(int i=1;i<=n;++i) dis[1][i]=dis[0][i]=214748364;//1：最短路 0：次短路
queue<int>q;
q.push(1),dis[1][1]=0,vis[1]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop(),vis[u]=0;
for(int i=head[u],v;v=a[i].to,i;i=a[i].next){
bool f=0;int w=a[i].w;
if(dis[1][v]>dis[1][u]+w)//第一种情况
dis[0][v]=dis[1][v],dis[1][v]=dis[1][u]+w,f=1;
if(dis[0][v]>dis[1][u]+w&&dis[1][v]!=dis[1][u]+w)//第二种情况
dis[0][v]=dis[1][u]+w,f=1;
if(dis[0][v]>dis[0][u]+w)//第三种情况
dis[0][v]=dis[0][u]+w,f=1;
if(!f||vis[v]) continue;
q.push(v),vis[v]=1;
}
}
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1,x,y,z;i<=m;++i){
x=read(),y=read(),z=read();
add(x,y,z),add(y,x,z);
}
spfa();
printf("%d",dis[0][n]);
return 0;
}
(K)短路
详情见牛慢跑
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