模拟赛题解 naive （二分）

题意

有(n(nle10^{10}))层楼，第(m(0le mle n))层以下扔鸡蛋不会碎。你有(k(0le kle 64))个鸡蛋，求找出这个(m)在最坏情况下需要多少次试验。

题解

最朴素的思想时直接(DP)，(f(n,k))表示(n)层楼有(k)个鸡蛋的答案。枚举在哪一层楼扔鸡蛋就能转移了。(O(n^2k))。考模拟赛时我在这个基础上，大力猜结论+乱搞然后0分。

转化思路。设(g(x,k))表示做(x)次试验，有(k)个鸡蛋能确定的最高层数。如果能够知道(g)就可以二分求答案。
显然当前楼下面还可以有(g(x-1,k))层楼，上面还可以有(g(x-1,k-1))层楼，加上本身这一层，转移方程式就是$$g(x,k)=g(x-1,k)+g(x-1,k-1)+1$$

根据打表找规律可以发现，且通过数学归纳法可证明(g(x,k)=sum_{i=1}^kinom{x}{i})。那么这样可以得到(80)分的高分。

考虑到求组合数在(x)很大的时候比较慢。但是可以发现只有当(k=1/2)时，所需要的(x)会比较大，其他情况都很小。那么我们用前面的递推式预处理出一部分(g)，其他情况暴力计算组合数，就能过了。具体见代码。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
template<class T>inline void read(T &x) {
	char ch; int flg = 1; while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch == '-')flg=-flg;
	for(x = ch-'0'; isdigit(ch=getchar()); x = x*10+ch-'0'); x *= flg;
}
const int N = 100000;
const LL inf = 1ll<<60;
LL n, k, f[N+5][65];
bool chk(LL x) {
	if(x <= N) return f[x][k] >= n;
	LL c = x, sum = x;
	if(sum >= n) return 1;
	for(int i = 2; i <= k; ++i) {
		if((LD)c * (x-i+1) / i >= n) return 1;
		c = c * (x-i+1) / i;
		if((sum+=c) >= n) return 1;
	}
	return 0;
}
int main () {
	freopen("naive.in", "r", stdin);
	freopen("naive.out", "w", stdout);
	for(int i = 1; i <= N; ++i)
		for(int j = 1; j <= 64; ++j)
			f[i][j] = min(inf, f[i-1][j] + f[i-1][j-1] + 1);
	int T; read(T);
	while(T--) {
		read(n), read(k);
		LL l = 1, r = n, mid;
		while(l < r) {
			mid = (l + r) >> 1;
			if(chk(mid)) r = mid;
			else l = mid + 1;
		}
		printf("%lld
", l);
	}
}