LCP 34. 二叉树染色

小扣有一个根结点为 root 的二叉树模型，初始所有结点均为白色，可以用蓝色染料给模型结点染色，模型的每个结点有一个 val 价值。小扣出于美观考虑，希望最后二叉树上每个蓝色相连部分的结点个数不能超过 k 个，求所有染成蓝色的结点价值总和最大是多少？

示例 1：

输入：root = [5,2,3,4], k = 2

输出：12

解释：结点 5、3、4 染成蓝色，获得最大的价值 5+3+4=12

示例 2：

输入：root = [4,1,3,9,null,null,2], k = 2

输出：16

解释：结点 4、3、9 染成蓝色，获得最大的价值 4+3+9=16

方法：动态规划
题意分析
找到染色节点的最大和

思路及算法
由于有下一步的计算结果依赖于前一步，可尝试用动态规划的方式求解。
一般的动态规划题目思路三步走：

定义状态转移方程
给定转移方程初始值
写代码递推实现转移方程
考虑自底向上dp，保存子节点的状态并计算当前是否染色的状态。

1. 定义状态转移方程
定义一维数组 dp[k+1]：
dp[i] 表示 每个节点的状态，i 表示染了几个节点，i=0 表示没有染色，i>0 表示染色 。

定义状态转移方程：
当前节点为root，dp逻辑为（详见注释）：

root不染色，那么只要返回 dp[0]，其值为左、右子树染色或不染色的最大值之和
root染色，那么就分左子树染色 j 个，右子树染色 i - 1 - j 个时，加上 root.val 的和。
注意：j 需要从 0 取到 i - 1，也就是包含 l[0] 和 r[0]。因为 l[0] 也包含左子树染了j个节点的情况，因为左子树的下一层子节点可能染了j个节点。

dp[i] = Math.max(dp[i], root.val + l[j] + r[i - 1 - j]);
条件分叉代码可参考注释。

2. 给定转移方程初始值
初始值为 叶子节点下的空节点，所以 直接返回都为 0 的 new int[k + 1];

class Solution {
  public int maxValue(TreeNode root, int k) {
    int[] dp = dynamic(root, k);
    int max = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
      //取root的各种染色情况的最大值
      max = Math.max(max, dp[i]);
    }
    return max;
  }

  private int[] dynamic(TreeNode root, int k) {
    int[] dp = new int[k + 1];
    //1.初始化：空节点为底，自底向上
    if (root == null) return dp;
    //2.获取左、右子树染色状态的dp表
    //- 左子树
    int[] l = dynamic(root.left, k);
    //- 右子树
    int[] r = dynamic(root.right, k);
    //3.更新处理root 染色/不染色 的情况下的dp表
    //- 不染root
    int ml = Integer.MIN_VALUE, mr = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
      //- 分别取子节点的最大值
      ml = Math.max(ml, l[i]);
      mr = Math.max(mr, r[i]);
    }
    dp[0] = ml + mr;
    //- 染root
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
      for (int j = 0; j < i; j++) {
        //- 还需要染色 i - 1 个点，左子树 j 个，右子树 i-1-j 个
        dp[i] = Math.max(dp[i], root.val + l[j] + r[i - 1 - j]);
      }
    }
    //4.更新完毕，返回后继续向上动态规划
    return dp;
  }
}