C++实现二次、三次B样条曲线

原文：Bezier曲线、B样条和NURBS的基本概念

下面是一个有四个控制点的Bezier曲线：

 可以通过改变一个控制点的位置来改变曲线的形状，比如将上图曲线中左边第二个控制点往上移，就可以得到下面的曲线:

可以看到，这种曲线生成方式比较直观和灵活，我只需要放置控制点，然后调整控制点的位置来得到想要的曲线，这就避免了和复杂的数学方程打交道，岂不快哉？

Bezier曲线、B样条和NURBS都是根据控制点来生成曲线的，那么他们有什么区别了？简单来说，就是:

Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；

Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；

B样条克服了Bezier曲线的一些缺点，Bezier曲线的每个控制点对整条曲线都有影响，也就是说，改变一个控制点的位置，整条曲线的形状都会发生变化，而B样条中的每个控制点只会影响曲线的一段参数范围，从而实现了局部修改；

以下内容原文：二次与三次B样条曲线c++实现

B样条曲线从Bezier曲线演变而来，了解B样条曲线首先得了解Bezier曲线。对于平面上的三个点P0，P1，P2，其坐标分别是(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。二次Bezier曲线用一条抛物线进行拟合，其参数方程是

二次Bezier曲线有如下要求：（1）t=0时，曲线经过P0，并与P0P1相切；（2）t=1时，曲线经过P2，并与P1P2相切。即有

其中，称为二次Bezier曲线基函数。

每3个离散点形成一条Bezier曲线，由于每条Bezier都经过端点，导致分段的Bezier曲线在端点处难以平滑过渡。二次B样条曲线克服了这个缺点，把端点移到线段中点（如下图所示），这样就能保证各段曲线在连接处能够一阶导数连续。

 

 

二次B样条曲线实现，只需将曲线参数t划分成k等分，t从0开始取值，间隔dt，直至k*dt。如果想让整条曲线两端与起始点P0和终止点Pn重合，只需以P0和Pn为中点，构造新点PP1=2*P0-P1，与PP2=2*Pn-Pn-1，替换掉P0与Pn即可。

三次B样条曲线通过样条基函数可以得到如下形式：

 

     三次B样条具有以下物理意义，曲线起点S位于三角形P0P1P2的中线P1M1上，距离P1点1/3倍P1M1处；曲线中点E位于三角形P1P2P3的中线P2M2上，距离1/3倍P2M2处；曲线起点切线平行于P0P2，终点切线平行于P1P3.

 

   三次B样条曲线要想让曲线两端与起始端P0与Pn重合，只需构造新点PP1=2*P0-P1，与PP2=2*Pn-Pn-1，分别加到P0之前与Pn之后即可。由此，参与计算点的增加了2个（注意，二次B样条是替换不是增加）。

程序实现了二次与三次B样条曲线，封装成了BSpline类

BSpine.h

#pragma once
//#include "position.h"
 
typedef struct tagPosition
{
    double  x;
    double  y;
    tagPosition(double _x,double _y) { x=_x; y=_y;}
    tagPosition() {};
    bool operator==(const tagPosition & pt) { return (x==pt.x && y==pt.y);} 
} CPosition;
 
class CBSpline
{
public:
    CBSpline(void);
    ~CBSpline(void);
 
    void TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
    void TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
    double F02(double t);
    double F12(double t);
    double F22(double t);
 
    void ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
    void ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
    double F03(double t);
    double F13(double t);
    double F23(double t);
    double F33(double t);
};

BSpine.cpp

//****************************     BSpline.cpp     *********************************** 
// 包含功能：二次B样条平滑，三次B样条平滑；二次B样条平滑后节点插值
//
// 作者：    蒋锦朋   1034378054@qq.com
// 单位：    中国地质大学（武汉） 地球物理与空间信息学院
// 日期：    2014/12/03
//*************************************************************************************
#include "StdAfx.h"
#include "BSpline.h"
 
 
CBSpline::CBSpline(void)
{
}
 
 
CBSpline::~CBSpline(void)
{
}
//======================================================================
// 函数功能： 二次B样条平滑，把给定的点，平滑到B样条曲线上，不增加点的数目
// 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的平滑点
//            Num：点个数
// 返回值：   无返回值
 
// 编辑日期：    2014/12/03
//======================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
    CPosition *temp=new CPosition[Num];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  将折线两端点换成延长线上两点
    temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
 
    temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
    temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3;
    double t;
    for(int i=0;i<Num-2;i++)
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2];
        if(i==0)                                     //  第一段取t=0和t=0.5点
        {   
            t=0;
            pt[i].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }else if(i==Num-3)                          //  最后一段取t=0.5和t=1点
        {
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
            t=1;
            pt[i+2].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+2].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }else                                      //  中间段取t=0.5点
        {
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }
    }
    delete []temp;
}
 
//================================================================
// 函数功能： 二次B样条拟合,在节点之间均匀插入指定个数点
// 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的数据点
//            Num：节点点个数
//            *InsertNum: 节点之间需要插入的点个数指针 
// 返回值：   无返回值
//
// 编辑日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
    if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
 
    int InsertNumSum=0;                               //  计算需要插入的点总数
    for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];
 
    CPosition *temp=new CPosition[Num];               //  二次B样条不需要增加点数，需要将首尾点替换掉
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  将折线两端点换成延长线上两点
    temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
 
    temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
    temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
 
    delete []pt;                                      //  点数由原来的Num个增加到Num+InsertNumSum个，删除旧的存储空间，开辟新的存储空间
 
    pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;        //  两节点间均匀插入点，需要相邻两段样条曲线,因此需要四个节点
 
    double t;
    int totalnum=0;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每条线段均匀插入点
    {
        if(i==0)                                      //  第一段只需计算第一条样条曲线，无NodePt1
        {   
            NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];     
 
            double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
            for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
            {
                t=0+dt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
                totalnum++;
            }
        }else if(i==Num-2)                            //  最后一段只需计算最后一条样条曲线，无NodePt4
        {
            NodePt1=temp[i-1]; NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1];
 
            double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
            for(int j=0;j<InsertNum[i]+2;j++)
            {
                t=0.5+dt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
                totalnum++;
            }
        }else                                      
        {
            NodePt1=temp[i-1],NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];    // NodePt1,2,3计算第一条曲线，NodePt2,3,4计算第二条曲线
 
            int LeftInsertNum,RightInsertNum;          //  计算线段间左右曲线段上分别需要插入的点数
            double rightoffset=0;                      //  左边曲线段从t=0.5开始，又边曲线段从t=rightoffset开始
            double Leftdt=0,Rightdt=0;                 //  左右曲线取点t步长
            if(InsertNum[i]==0 )
            {
                LeftInsertNum=0;
                RightInsertNum=0;
            }else if(InsertNum[i]%2==1)                //  插入点数为奇数，左边曲线段插入点个数比右边多一点
            {
                RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
                LeftInsertNum=RightInsertNum+1;
                Leftdt=0.5/(LeftInsertNum);
                Rightdt=0.5/(RightInsertNum+1);
                rightoffset=Rightdt;
            }else                                      //  插入点数为偶数，左右边曲线段插入个数相同
            {
                RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
                LeftInsertNum=RightInsertNum;
                Leftdt=0.5/(LeftInsertNum+0.5);
                Rightdt=0.5/(RightInsertNum+0.5);
                rightoffset=Rightdt/2;
            }
 
            for(int j=0;j<LeftInsertNum+1;j++)
            {
                t=0.5+Leftdt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
                totalnum++;
            }
 
            for(int j=0;j<RightInsertNum;j++)
            {                
                t=rightoffset+Rightdt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
                totalnum++;
            }
        }
    }
    delete []temp;
    Num=Num+InsertNumSum;
 
}
//================================================================
// 函数功能： 二次样条基函数
//
// 编辑日期：    2014/12/03
//================================================================
double CBSpline::F02(double t)
{
    return 0.5*(t-1)*(t-1);
}
double CBSpline::F12(double t)
{
    return 0.5*(-2*t*t+2*t+1);
}
double CBSpline::F22(double t)
{
    return 0.5*t*t;
}
//========================================================================
// 函数功能： 三次B样条平滑，把给定的点，平滑到B样条曲线上，不增加点的数目
// 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的平滑点
//            Num：点个数
// 返回值：   无返回值
//
// 编辑日期：    2014/12/03
//========================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
    CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i+1]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  将折线延长线上两点加入作为首点和尾点
    temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
 
    temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
    temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
    double t;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
 
        if(i==Num-4)                          //  最后一段取t=0.5和t=1点
        {
            t=0;
            pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            t=1;
            pt[i+1].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i+1].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
        }else                                      //  中间段取t=0.5点
        {
            t=0;
            pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
        }
    }
    delete []temp;
}
 
//================================================================
// 函数功能： 三次B样条拟合,在节点之间均匀插入指定个数点
// 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的数据点
//            Num：节点点个数
//            *InsertNum: 节点之间需要插入的点个数指针 
// 返回值：   无返回值
//
// 编辑日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
    if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
 
    int InsertNumSum=0;                               //  计算需要插入的点总数
    for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];
 
    CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i+1]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  将折线延长线上两点加入作为首点和尾点
    temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
 
    temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
    temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
    double t;
 
    delete []pt;                                      //  点数由原来的Num个增加到Num+InsertNumSum个，删除旧的存储空间，开辟新的存储空间
 
    pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              
 
    int totalnum=0;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每条线段均匀插入点
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
        double dt=1.0/(InsertNum[i]+1);
 
        for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
        {
            t=dt*j;
            pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            totalnum++;
        }
 
        if(i==Num-2){              //  最后一个尾点
            t=1;
            pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            totalnum++;
        }
    }
 
    delete []temp;
    Num=Num+InsertNumSum;
 
}
 
//================================================================
// 函数功能： 三次样条基函数
//
// 编辑日期：    2014/12/03
//================================================================
double CBSpline::F03(double t)
{
    return 1.0/6*(-t*t*t+3*t*t-3*t+1);
}
double CBSpline::F13(double t)
{
    return 1.0/6*(3*t*t*t-6*t*t+4);
}
double CBSpline::F23(double t)
{
    return 1.0/6*(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1);
}
double CBSpline::F33(double t)
{
    return 1.0/6*t*t*t;
}

程序调用

#include "stdafx.h"
#include "math.h"
#include "BSpline.h"
 
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int num=8;
    double x[8]={9.59,60.81,105.57,161.59,120.5,100.1,50.0,10.0};
    double y[8]={61.97,107.13,56.56,105.27,120.5,150.0,110.0,180.0};
 
    CPosition *testpt=new CPosition[num];
    for(int i=0;i<num;i++) testpt[i]=CPosition(x[i],y[i]);
 
    int *Intnum=new int[num-1]; 
    for(int i=0;i<num-1;i++){
        Intnum[i]=10;                 //  每一个样条曲线内插入10个点
    }
 
    int num2=num;
    CBSpline bspline;
    bspline.TwoOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);        //  二次B样条曲线
    //bspline.ThreeOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);    //  三次B样条曲线
 
    //bspline.TwoOrderBSplineSmooth(testpt,num2);      //  二次B样条平滑
    //bspline.ThreeOrderBSplineSmooth(testpt,num2);    //  三次B样条平滑
    delete Intnum;
 
 
    FILE *fp_m_x = fopen("Bspline_test_x.txt", "wt");
    FILE *fp_m_y = fopen("Bspline_test_y.txt", "wt");
    for (int i = 0; i < num2; i++){
        fprintf(fp_m_x, "%lf
", testpt[i].x);
        fprintf(fp_m_y, "%lf
", testpt[i].y);
    }
    fclose(fp_m_x);
    fclose(fp_m_y);
 
    return 0;
}

更多可以看原文（我不用matlab）：https://blog.csdn.net/jiangjjp2812/article/details/100176547?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-3.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-3.no_search_link