定义
好像没什么明确的定义，口胡一个吧
(cat_n)为由(n)个(0)和(n)个(1)组成的序列中，满足前缀(0)的个数永远大于等于前缀(1)个数的序列的方案数
公式
定义式：
定义(cat_0=0,cat_1=1)
(cat_n=sumlimits_{i=0}^{n}cat_i*cat_{n-i}(nge 2))
相当与枚举数列断点然后加法原理，比较显然是对的
通项一：
(cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1})
(C_{2n}^{n})为没有限制时的总方案数，即在(2n)个位置中随便放(0)的方案数
考虑不合法方案：对于每个不合法，一定存在一个最位置使得该序列首次前缀(1)个数大于前缀(0)的个数
我们把这个位置和之前的(01)全部取反，将得到一个(n+1)个(0)和(n-1)个(1)组成的序列
每个非法情况都对应着一个这样的序列，所以总方案数(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1})
通项二：
(cat_n=frac{1}{n+1}C_{2n}^{n})
证明：
(cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1})
(=frac{(2n)!}{n!*n!}-frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!})
(=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!(n+1)}{n!*n!}-frac{(2n)!}{n!(n-1)!}))
(=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!(n+1)}{n!*n!}-frac{(2n)!(n)}{n!*n!}))
(=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!(n+1-n)}{n!*n!}))
(=frac{1}{n+1}(frac{(2n!){n!*n!}}))
(=frac{1}{n+1}C_{2n}^{n})
递推：
(cat_{n+1}=frac{4n+2}{n+2}cat_n)
证明：
(cat_{n+1}=frac{1}{n+2}C_{2n+2}^{n+1})
(cat_{n+1}=frac{1}{n+2}*frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!})
(cat_{n+1}=frac{1}{n+1}*frac{(2n+2)!}{n!(n+2)!})
(cat_{n=1}=frac{1}{n+1}*frac{(2n)!}{n!*n!}*frac{(n+1)(n+2)}{(2n+1)(2n+2)})
(cat_{n=1}=frac{n+2}{4n+2}*frac{1}{n+1}C_{2n}^{n})
(cat_{n+1}=frac{4n+2}{n+2}cat_n)
应用：
输入(3)输出(5)就是了
括号匹配
给定(n)个左括号和(n)个右括号，求合法的括号组合方案数
裸体
网格
给定(n*n)的网格，只能向上或向右走，求不越过对角线到达右上角的方案数
裸体
栈模型
裸体
二叉树形态数
求(n)个节点构成的二叉树的形态数
考虑根节点确定后，我们可以枚举左右子树各有多少个节点
得到式子：(f(n)=sumlimits_{i=0}^{n}f_if_{n-i})
发现是卡特兰数列
凸(n+2)边形进行三角分割的方案数
每一刀可以把(n+2)边形分割为两个小凸多边形
定义(f(0)=0,f(1)=1)，得到
(f(n)=sumlimits_{i=1}^{n-1}f_if_{n-i})
发现答案就是(cat_{n})
楼梯分割
(n)阶楼梯分割为(n)个矩形
和上面两个例子一样分析
问题变形：
用(n)个(0)和(m)个(1)组成前缀(0)个数永远大于等于前缀(1)个数的方案数
总方案数为(C_{n+m}^{n})
假设位置(k)的时候前缀(1)超过了前缀(0)的数量，那么把前面的(01)翻转
不合法方案数：(C_{n+m}^{n+1})
答案(C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1})