(二叉)堆(heap)数据结构是一种数组对象，可以视作一颗完全二叉树，从该二叉树的根开始层次遍历这颗二叉树就可以得到其对应的数组。树的根节点为A[0]，对于树中某个节点的坐标i，其左右孩子节点和父亲节点的坐标可以很方便的求得：
LEFT(i)=2*i+1; RIGHT(i)=2*i+2; PARENT(i)=i/2 .
有两种二叉堆：最大堆和最小堆。最大堆中，每个节点存储的数值都大于等于其左右两个孩子节点存储的数值,亦即A[i]>=A[LEFT[i]]&&A[i]>=A[RIGHT[i]]。最小堆则正好相反。本文以最大堆为例。
知道了最大堆的定义之后，就要在给定的任意数组上构建最大堆，然后利用这个最大堆进行升序排序：
(1) 构建最大堆：
首先我们定义一个方法Heapify(heap，i)，如果以i的左右孩子节点为根的子树已经是最大堆，则该方法使得以i为根的子树也成为最大堆。其伪代码如下(摘自《算法导论》)：
1 MAX-HEAPIFY(A,i) 2 l=LEFT(i) 3 r=RIGHT(i) 4 target=i; 5 if(l<=A.heap_size&&A[l]>A[i]) 6 target=l; 7 if(if(r<=A.heap_size&&A[r]>A[i])) 8 target=r; 9 if(target!=i) 10 exchange(A[i],A[target]) 11 MAX-HEAPIFY(A,target)//递归
我们比较当前节点i的数值和其左右子节点的数值，如果i的某个子节点的数值大于i的数值，则违反了最大堆的定义，所以我们需要交换这两个节点的位置。假设A[LEFT[i]]>A[RIGHT[i]]>A[i],则交换i节点与LEFT[i]节点。但是，被交换到左孩子节点的i节点可能会违反以左孩子结点为根的最大堆的定义，所以我们需要对这个最大堆递归调用MAX-HEAPIFY方法。
有了上面这个方法之后，我们就可以自底向上的调用MAX-HEAPIFY方法构建最大堆。因为A[A.length/2+1]及其之后的节点都是叶子节点，都可以看做只有一个节点的最大堆，所以我们可以从A[A.length/2]节点开始直到A[0]节点依次调用MAX-HEAPIFY方法，亦即从树的层次遍历的最后一个有孩子的节点开始，按照层次遍历的逆序调用MAX-HEAPIFY方法：
1 BUILD-MAX-HEAP(A) 2 for i=A.length/2 downto 1 3 MAX-HEAPIFY(A,i)
(2) 堆排序
构造完最大堆之后，我们就可以利用其进行排序。因为最大堆只能保证A[0]存储的是当前堆中最大的元素，我们可以把A[0]与堆的最后一个元素互换，这样A[0]就排在了最后一个位置，也是正确的位置。这时最后一个位置已经不属于最大堆，所以A.heap_size要减一。互换到A[0]的元素可能会破坏最大堆的性质，我们可以调用MAX-HEAPIFY方法使之重新成为最大堆，然后将A[0]交换至当前堆的最后一个位置。依次递归。
1 HEAPSORT(A) 2 for i=A.length downto 2 3 exchange(A[i],A[0]) 4 --A.heap_size //堆的大小减少 5 MAX-HEAPIFY(A,0)
(3) 堆的JAVA实现
1 package Algorithm; 2 3 import java.util.*; 4 /** 5 * 堆(Heap) 6 * @author Kemaswill 7 * 2012-10-5 Friday 8 */ 9 10 public class Heap { 11 12 public static int[] data; 13 public static int length; 14 public static int heap_size; 15 16 public Heap(){ 17 this.length=20; 18 this.heap_size=length; 19 this.data=new int[length]; 20 Random random=new Random(System.currentTimeMillis()); 21 for(int i=0;i<length;i++){ 22 data[i]=Math.abs(random.nextInt()%50); 23 }//for 24 } 25 26 public Heap(int n){ 27 this.length=n; 28 this.heap_size=length; 29 this.data=new int[length]; 30 Random random=new Random(System.currentTimeMillis()); 31 for(int i=0;i<length;i++){ 32 data[i]=Math.abs(random.nextInt()%50); 33 }//for 34 } 35 36 public static void max_heapify(Heap heap,int i){ 37 if(i<heap.heap_size){ 38 int l=2*i+1; 39 int r=2*i+2; 40 int target=i; 41 if(l<heap.heap_size&&heap.data[l]>heap.data[i]){ 42 target=l; 43 } 44 if(r<heap.heap_size&&heap.data[r]>heap.data[target]){ 45 target=r; 46 } 47 if(target!=i){ 48 exchange(heap,i,target); 49 max_heapify(heap,target); 50 }//if 51 }//if 52 }//heapify 53 54 public static void exchange(Heap heap,int x,int y){ 55 int tmp=heap.data[x]; 56 heap.data[x]=heap.data[y]; 57 heap.data[y]=tmp; 58 } 59 60 public static void build_heap(Heap heap){ 61 //对于所有非叶结点，依次调用max_heapify 62 for(int i=heap.heap_size/2;i>=0;i--){ 63 max_heapify(heap,i); 64 } 65 } 66 67 public static void heapsort(Heap heap){ 68 69 for(int i=heap.length-1;i>0;i--){ 70 exchange(heap,0,i); 71 heap.heap_size--; 72 max_heapify(heap,0); 73 } 74 }//heapsotr 75 76 public static void show_heap(Heap heap){ 77 for(int i=0;i<=(int)Math.log(heap.length)/Math.log(2)+2;i++){ 78 for(int j=(int)Math.pow(2, i)-1;j<Math.pow(2, i+1)-1;j++){ 79 if(j<heap.length){ 80 System.out.print(heap.data[j]+" "); 81 } 82 else break; 83 } 84 System.out.println(); 85 } 86 } 87 88 public static void main(String[] args){ 89 Heap heap=new Heap(); 90 show_heap(heap); 91 build_heap(heap); 92 show_heap(heap); 93 heapsort(heap); 94 show_heap(heap); 95 96 }//main 97 98 }
参考文献：
[1] 《算法导论》 第6章 p73
[2] 一个用Java实现的简单的最大堆