题目描述
跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。跳房子的游戏规则如下：
在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画n个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：
玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。
现在小R研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的d。小R希望改进他的机器人，如果他花g个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加g，但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为1。具体而言，当g＜d时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为d-g，d-g+1，d-g+2，...，d+g-2，d+g-1，d+g；否则（当g≥d时），他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为1，2，3，...，d+g-2，d+g-1，d+g。
现在小R希望获得至少k分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。
输入格式
第一行三个正整数n，d，k，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数之间用一个空格隔开。
接下来n行，每行两个正整数xi，si，分别表示起点到第i个格子的距离以及第i个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证xi按递增顺序输入。
输出格式
共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少k分，输出-1。
输入样例
7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2
输出样例
2
数据规模
本题共10组测试数据，每组数据10分。对于全部的数据满足1≤n≤500000，1≤d≤2000，1≤xi，k≤10^9，|si|≤10^5。
题解
我们设$dp[i]$为机器人跳到第$i$个格子获得的最大总分。容易得到：
$$dp[i] = underset {j < i, x[i] - d - g leqslant x[j] leqslant x[i] - d + g} {max} { dp[j] } + s[i]$$
如果再用朴素方法枚举$g$的话，时间复杂度就是$O(n^{3})$，完美TLE。
显然上面的式子是可以用单调队列优化的，这样就降到了$O(n^{2})$，但还是TLE。
显然dp上已经不能优化了。那$g$怎么枚举呢？
其实，当$g = a$时，如果$dp[i] geqslant k$有解，那么$g > a$时，$dp[i] geqslant k$也一定有解，那我们就可以用二分答案来优化枚举$g$的过程。这样就可以把时间复杂度降到$O(n log n)$。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <deque> #define MAX_N (500000 + 5) #define abs(x) ((x) >= 0 ? (x) : -(x)) using namespace std; int n, d, k; int x[MAX_N], s[MAX_N]; int dp[MAX_N]; bool f[MAX_N]; deque <int> q; int ans = -1; bool Check(int g) { memset(f, 0, sizeof f); memset(dp, -0x7f, sizeof dp); dp[0] = 0; q.clear(); int lt = 0; for(register int i = 1; i <= n; ++i) { while(!q.empty() && x[q.front()] + d + g < x[i]) q.pop_front(); while(lt < i && x[lt] + d + g < x[i]) ++lt; while(lt < i && x[lt] + d - g <= x[i]) { if(f[lt]) { ++lt; continue; } while(!q.empty() && dp[lt] >= dp[q.back()]) q.pop_back(); q.push_back(lt++); } if(q.empty()) f[i] = true; else dp[i] = dp[q.front()] + s[i]; if(dp[i] >= k) return true; } return false; } int main() { scanf("%d%d%d", &n, &d, &k); for(register int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d%d", x + i, s + i); } int lt = 0, rt = x[n], mid; while(lt <= rt) { mid = lt + rt >> 1; if(Check(mid)) { ans = mid; rt = mid - 1; } else { lt = mid + 1; } } printf("%d", ans); return 0; }