洛谷P2634 [国家集训队]聪聪可可 点分治

Description

聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。

他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。

聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Input

输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。

Output

以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）

Sample Input

5

1 2 1

1 3 2

1 4 1

2 5 3

Sample Output

13/25

HINT

【样例说明】

13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【数据规模】

对于100%的数据，n<=20000。

Solution

换句话说，此题题意可以简化为：给出一棵 n 个点的树，边有边权，求长度为 3 的倍数的路径数目除以总路径数目的结果。

典型的点分治模板题，开一个桶，通过点分治处理出距离分治中心的距离mod3分别为0,1,2的点的数目，最后通过数学上的排列组合来更新答案。即选2个0点的方案数加上选一个1和一个2点的方案数。由于发现统计过程中统计结果存在逆运算，所以我们可以通过单步的容斥原理来去掉统计重复的点的数目。分治中心通常情况下选择树的重心。

Code

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define N 20010
using namespace std;
int head[N],next[N<<1],to[N<<1],v[N<<1],mx[N],si[N],vis[N],t[5],mod[N];
int tot,ans,root,sn;
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    next[tot]=head[x];
    to[tot]=y;
    v[tot]=z;
    head[x]=tot;
}
void build(int x,int y,int z)
{
    add(x,y,z);
    add(y,x,z);
}//建树
int gcd(int x,int y)
{
    return x%y==0?y:gcd(y,x%y);
}//最大公约数，用于约分
void getroot(int x,int fa)
{
    mx[x]=0;
    si[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(to[i]!=fa&&!vis[to[i]])
        {
            getroot(to[i],x);
            si[x]+=si[to[i]];
            mx[x]=max(mx[x],si[to[i]]);
        }
    }
    mx[x]=max(mx[x],sn-si[x]);
    if(mx[root]>mx[x])
        root=x;
}//求树的重心
void geetdeep(int x,int fa)
{
    t[mod[x]]++;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(to[i]!=fa&&!vis[to[i]])
        {
            mod[to[i]]=(mod[x]+v[i])%3;
            geetdeep(to[i],x);
        }
    }
}//求深度
int calc(int x,int now)
{
    t[0]=t[1]=t[2]=0;
    mod[x]=now;
    geetdeep(x,0);
    return    t[1]*t[2]*2+t[0]*t[0];
}//统计结果
void sol(int x)
{
    ans+=calc(x,0);
    vis[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(!vis[to[i]])
        {
            ans-=calc(to[i],v[i]);
            root=0;
            sn=si[to[i]];
            getroot(to[i],0);
            sol(root);    
        }
    }
}//点分治的过程
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        z=z%3;
        build(x,y,z);
    }
    mx[0]=sn=n;
    root=0;
    getroot(1,0);
    sol(root);
    printf("%d/%d",ans/gcd(ans,n*n),n*n/gcd(ans,n*n));//约分并输出答案
    return 0;
}