CF506E Mr. Kitayuta's Gift

CF506E

有个字符串，插入(n)个字符使得它变成回文串。

问形成的不同的回文串的个数。

（洛谷的题目大意有问题）

(|s|le 10^9)

(nle 200)

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神仙题。

网上一堆博客讲得很清楚，那么这里就简单地复述一下。

先考虑暴力。设(f_{i,l,r})表示回文串决定了前后(i)个字符，尽量给字符串匹配，剩下的字符串为([l,r])的方案数。

(g_i)表示决定了前后(i)个字符，整个字符串匹配完了的方案数。

1. (l+1=r and s_l=s_r or l=r)。转移至(g_{i+1})
2. (s_l=s_r)。转移至(f_{i+1,l+1,r-1})和(f_{i+1,l,r})。
3. (s_l eq s_r)。转移至(f_{i+1,l+1,r})和(f_{i+1,l,r-1})和(f_{i+1,l,r})。

(g_i)转移至(g_{i+1})。

系数自己补上。

可以发现这是个有限状态自动机上匹配的过程：

这里有(O(|s|^2))个点，直接矩阵乘法会爆炸。

记(s_l=s_r)的点为绿点，(s_l e s_r)的点为红点。

从起点到终点有若干条路径，我们发现一条路径的贡献只跟经过的红点和绿点有关。

假如一条路径上有(i)个红点，那么就有(lceilfrac{len-i}{2} ceil)个绿点。

搞个类似于上面的dp来计算出每种路径出现了多少次。记作(g_i)。

把每个路径的贡献分别计算，时间复杂度(O(|s|^4lg n))。

还是过不去。把状态压成下面这样：

这样就只有(frac{3}{2}|s|)个点。(g_i)挂在红点和绿点之间的横插边上。

直接矩阵乘法就好了。

如果是奇数的话这种方法还要修正一下：

在确定中间的那个数的时候，如果从([i,i+1])转移过来，那就不合法。

那就再用个矩阵乘法把这个贡献减掉。具体建图和上面类似，(g_i)只算([i,i+1])转移过来的贡献，终点没有自环。

有个常数优化的小trick：

由于矩阵乘法可以看做从小的编号向大的编号转移，于是如此枚举：j=i to n,k=i to j

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 210
#define ll long long
#define mo 10007
int n,m;
char s[N];
int f[N][N][N],g[N];
void add(int &a,int b){a=(a+b)%mo;}
int tot;
struct Matrix{
	int m[N*2][N*2];
} T,T0,S;
void multi(Matrix &a,Matrix &b){
	static Matrix c;
	for (int i=0;i<=tot;++i)
		for (int j=i;j<=tot;++j){
			ll sum=0;
			for (int k=i;k<=j;++k)
				sum+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
			c.m[i][j]=sum%mo;
		}
	memcpy(&a,&c,sizeof c);
}
void getpow(int n){
	memset(&S,0,sizeof S);
	for (int i=0;i<=tot;++i)
		S.m[i][i]=1;
	for (;n;n>>=1,multi(T,T))
		if (n&1)
			multi(S,T);
}
void build(bool er=1){
	tot=n+((n-1)/2+1)+1-1;
	memset(&T,0,sizeof T);
	for (int i=0;i<n;++i){
		if (i)
			T.m[i][i]=24;
		if (i<n-1)
			T.m[i][i+1]=1;
		int j=tot-((n-i-1)/2+1);
		T.m[i][j]=g[i];
	}
	for (int i=n;i<tot;++i){
		T.m[i][i]=25;
		T.m[i][i+1]=1;
	}
	T.m[tot][tot]=(er?26:0);
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%s%d",s+1,&m);
	n=strlen(s+1);
	f[1][n][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=n;j>=i;--j)
			for (int k=0;k<=n-(j-i+1);++k)
				if (f[i][j][k]){
					int v=f[i][j][k];
					if (i+1==j && s[i]==s[j] || i==j)
						add(g[k],v);
					else if (s[i]==s[j])
						add(f[i+1][j-1][k],v);
					else{
						add(f[i+1][j][k+1],v);
						add(f[i][j-1][k+1],v);
					}
				}
	build();
	if (n+m&1){
		getpow((n+m+1>>1)+1);
		ll ans=S.m[0][tot];
		for (int k=0;k<n;++k){
			g[k]=0;
			for (int i=1;i<n;++i)
				if (s[i]==s[i+1])
					add(g[k],f[i][i+1][k]);
		}
		build(0);
		memset(&S,0,sizeof S);
		getpow((n+m+1>>1)+1);
		ans=(ans-S.m[0][tot]+mo)%mo;
		printf("%d
",ans);
	}
	else{
		getpow((n+m>>1)+1);
		printf("%d
",S.m[0][tot]);
	}
	return 0;
}