泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
其中,
表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式:
1、佩亚诺(Peano)余项:
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
3、拉格朗日(Lagrange)余项:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(Cauchy)余项:
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项:
带佩亚诺余项