• 数学


    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
    若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:
     
     
    其中,
      
    表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。
     
     

    余项

    泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式:
    1、佩亚诺(Peano)余项:
    这里只需要n阶导数存在
    2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
     
    其中θ∈(0,1),p为任意正实数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项) [2] 
    3、拉格朗日(Lagrange)余项:
    其中θ∈(0,1)。
    4、柯西(Cauchy)余项:
    其中θ∈(0,1)。
    5、积分余项:
    其中以上诸多余项事实上很多是等价的。 [2] 

    带佩亚诺余项

    以下列举一些常用函数的泰勒公式 [1]  
     
    泰勒展开是把一个函数用无数多个多项式来表示,所以用有限项来表示永远是不精确的。余项就是有限展开式和原函数之间的差。
     

     

     

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