今天是钟皓曦大佬讲课，先来膜一波 %%%%%
•数论
数论是这次培训的一个重点，那么什么是数论呢？
数论是研究整数性质的东西，所以理论上day2不会涉及小数QwQ
（切入正题）
•整除性：
设a，b ∈ Z，如果 
c ∈ Z 并且 a = b * c，则称 b | a
称：
b为a的因子
b能整除a
a能被b整除 / /好像很简单的样子
•质数：
只有1和自身作为因子的数叫做质数
以 π（x）表示不超过x的素数个数，可以证明出以下结论（1）：
lim π（x） * ln x / x = 1；
也就是 lim π（x） = x / ln x；
这个结论对于分析算法复杂度有一定帮助；
结论（2）：（欧几里得引理）
设p为质数，若 p | a * b ，则 p | a 或者 p | b。
这个结论是一个基础结论，广泛用于以下结论的证明；
•整数分解定理----算数基本定理：
对于任意大于1的正整数N，N一定能够分解成有限个质数的乘积和，即：
N = p1a1 * p2a2 * ...... pkak
其中p1<p2<......<pk，a1、a2、a3、...... 、ak均为正整数；
下面给出证明：
首先证明存在性：
我们可以用反证法，设N为不满足条件的最小的数，N如果是质数就不符合条件（N1），如果N不是质数还是不符合条件（根据对合数的定义，以及一个叫数学归纳法的玩意儿），证毕；
再来证明唯一性：
这里就用到了欧几里得引理，也就是上文所说的 “ 广泛用于以下结论的证明 ” 的结论，我也没有打自己脸
假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一，且n为最小
因为设n为大于1的合数（如果n为质数，则只有n=n，显然这是质数的乘积）
因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积
所以n=a×b
又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个
所以a和b可以分为质数的乘积
所以n已就可以分为质数的乘积，与假设不符合，故假设错误
存在性得证。
•筛素数（这里先不展开讲，有兴趣可以参考我的博文，应该会在一两天内出炉）
•最大公因数：
英文缩写：gcd
它的定义是：gcd ( a , b ) = max { x ( x | a , x | b ) }
既然讲到了最大公约数，就不得不讲讲欧几里得算法啦，就当是自己复习一下了；
欧几里得算法的核心思想，就是把gcd（a，b）转化为gcd（b，a % b）
下面是证明：
将a的带余除法式写出来：a = k * b + r（其中a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a % b
假设d是a , b的一个公约数，记作d | a，d | b，即a和b均可以被d整除，而r = a - k * b，两边同时除以d，r / d = a / d - k * b / d = m，由等式右边可知m为整数，因此d | r，因此d也是b，a%b的公约数。
下面再证d是最大的，假设d是b , a % b的公约数, 则d | b , d | ( a - k * b ) , k 是一个整数。进而d | a（结合上面的证明）.因此d也是a , b的公约数，因此( a , b )和( b , a % b )的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
接下来就是最最激动人心的代码实现啦
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdlib> 4 using namespace std; 5 int gcd(int,int); 6 int main() 7 { 8 int a,b; 9 scanf("%d%d",&a,&b); 10 printf("%d",gcd(a,b)); 11 return 0; 12 } 13 14 int gcd(int a,int b) 15 { 16 17 if(a<b) return gcd(b,a); //对a<b时的特判； 18 if(b==0) return a; 19 else return gcd(b,a%b); 20 }
•裴蜀定理：
给定a，b，c，则ax + by = c有整数解的充要条件为gcd（a，b） | c
辣么我们证一下
根据唯一分解定理，可以很简单的得出，但如果我们不用呢？
先来证必要性：
a = a'd , b = b'd
ax + by = ( a'x + b'y )d = c
得证！
接下来是充分性：
我们可以转化成证明d是最小的能写成ax + by的正整数，设ax + by能表示的最小正整数为s，
a / s = q……r , r = a - qs = a - q ( ax + by ) = a ( 1 - qx ) + b ( -qy ) , 0<=r<s => r = 0 => s | d
又因为d | ax + by = ( a'x + b'y )d => d | s
所以d = s
那么我们就可以证明欧几里得引理啦：
若p | a，搞定！
否则有gcd( p , a ) = 1 , 则 n , m使得np + ma = 1.所以b = b ( np + ma ) = bnp + mba = bnp + mtp
得证!
•扩展欧几里得（exgcd）
•中国剩余定理
•逆元
如果（a，m） = 1且存在唯一的b使得a * b ≡ 1（mod m）且1 ≤ b < m，则b为a在模m意义下的逆元；
这里再介绍2个结论：
结论（1）：（费马小定理）
ap-1 ≡ 1
结论（2）：（欧拉定理）
aΦ（m） ≡ 1
欧拉定理的证明不再阐述，有兴趣可以参考百度。