被拉伸链的末端距

原链接未知。原作者：Tim St Pierre

考虑自由连接链，链节长度为(a)，矢量(vec{a})表示链节的取向和长度。取向与(x)轴夹角在( heta)到( heta+delta heta)之间的链节数目正比于球上面积

egin{equation*} delta A=2pi a^2 sin heta delta heta end{equation*}

即链节取向与(x)轴夹角为( heta)的概率为

egin{equation*} P( heta)d heta=C2pi a^2 sin heta d heta end{equation*}

其中(C)为归一化常数，由下式定出

egin{equation*} int_0^{ heta} P( heta)d heta=1 end{equation*}

于是有

egin{equation*} P( heta)=frac{1}{2} sin heta d heta end{equation*}

键的取向

如果链被拉伸，不失一般性，假设力沿(x)轴方向。链节不同的取向对应的势能不相等。平均需要(2aF)的势能使沿(x)方向的链节变得沿(x)负方向。

链被拉伸

链节的取向势能为

egin{equation*} V=-Facos heta=vec{F} cdot vec{a} end{equation*}

链节取向与与(x)轴夹角为( heta)的概率正比于(expleft (-frac{V}{k_BT} ight ))，即

egin{equation*} P( heta)d heta=left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight ) end{equation*}

所以(vec{a})的(x)分量的平均值为

egin{equation*} egin{split} langle a_x angle &=frac{int_0^{pi}acos heta left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight )}{int_0^{pi}left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight )}\ &=aleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ] end{split} end{equation*}

如果链长为(N)，则平均末端距的(x)分量为

egin{equation*} langle r_x angle=Naleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ] end{equation*}

链在(y)和(z)方向上没有被拉伸，因此

egin{equation*} langle r_y angle=langle r_z angle=0 end{equation*}

于是链的平均末端距为

egin{equation*} langle r angle=Naleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ]=Namathcal {L}left(frac{Fa}{k_BT} ight ) end{equation*}

其中(mathcal {L}left(frac{Fa}{k_BT} ight ))为朗之万函数

对于双曲余切函数(coth x=frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}})，展开成级数，为如下形式

egin{equation*} coth x=frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=frac{1}{x}+frac{x}{3}+cdots end{equation*}

当拉伸力比较小时，(Fall k_BT)，链末端距为

egin{equation*} langle r angle=frac{NFa}{3k_BT} end{equation*}

上式可写为

egin{equation*} F=frac{3 k_BT}{Na}langle r angle end{equation*}

此正是胡克定律。

如果(Fagt k_BT)，末端距必须采用朗之万函数形式。

末端距与拉伸力

交换上图坐标系，有下图

力与末端距

下图为实验结果，突变膜蛋白G241C Mutant的力谱（Science 2000, 288, 143）

力谱