• HDU 1133


    n+m个人排队买票,并且满足n ge m,票价为50元,其中n个人各手持一张50元钞票,m个人各手持一张100元钞票,除此之外大家身上没有任何其他的钱币,并且初始时候售票窗口没有钱,问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。

    这个题目是Catalan数的变形,不考虑人与人的差异,如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题,也就是将手持50元的人看成是+1,手持100元的人看成是-1,任前k个数值的和都非负的序列数。

    这个题目区别就在于n>m的情况,此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑,假设我们要的情况数是D_{n+m},无法让每个人都买到的情况数是U_{n + m},那么就有D_{n + m} + U_{n +m} = {n + m choose n},此时我们求U_{n + m},我们假设最早买不到票的人编号是k,他手持的是100元并且售票处没有钱,那么将前k个人的钱从50元变成100元,从100元变成50元,这时候就有n+1个人手持50元,m-1个手持100元的,所以就得到U_{n + m} = {n + m choose n + 1},于是我们的结果就因此得到了,表达式是D_{n + m} = {n + m choose n} - {n + m choose n + 1}

    这个证明漂亮。http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html

    虽然知道卡特兰数一般证明方法,但这个题的变形我却不会证,唉,看来自己还差得远了。。。。

    import java.math.BigDecimal;
    import java.math.BigInteger;
    import java.util.Scanner;
    import java.io.InputStreamReader;
    
    class Conmul{
        BigDecimal []m;
        Conmul(){
            m=new BigDecimal[101];
            m[0]=new BigDecimal(1);
            BigDecimal TMP;
            for(int i=1;i<=100;i++){
                TMP=new BigDecimal(i);
                m[i]=m[i-1].multiply(TMP);
            }
        }
    }
    
    class Choice{
      BigDecimal [][]C;
        Choice(){
            C=new BigDecimal[201][201];
    	BigDecimal B,D;
    	
            for(int i=0;i<=200;i++){
                for(int j=0;j<=200;j++){
                    if(j==0)
                    C[i][j]=new BigDecimal(1);
    	else if(j>i) C[i][j]=new BigDecimal(0);
                    else{
    	B=new BigDecimal(i-j+1);
    	D=new BigDecimal(j);
                        C[i][j]=C[i][j-1].multiply(B);
    	C[i][j]=C[i][j].divide(D);
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    public class Main{
        public static void main(String args[]){
            Scanner in=new Scanner(System.in);
            BigDecimal []Can=new BigDecimal[101];
            Can[0]=new BigDecimal(1);
            BigDecimal B,C,D;
            Conmul Con=new Conmul();
            Choice Cho=new Choice();
            for(int i=1;i<=100;i++){
                B=new BigDecimal(4*i-2);
                C=new BigDecimal(i+1);
                D=Can[i-1].multiply(B);
                Can[i]=D.divide(C);
            }
            int kase=0;
            while(in.hasNext()){    
                int n=in.nextInt();
                int m=in.nextInt();
                if(m==0&&n==0)
                    break;
    	kase++;
                System.out.println("Test #"+kase+":");
                if(m>n){
                    System.out.println(0);
                }
                else if(m==n){
                    BigDecimal ans=new BigDecimal(1);
                    ans=Con.m[n].multiply(Con.m[m]);
                    ans=ans.multiply(Can[m]);
                    System.out.println(ans);
                }
                else{
                    BigDecimal ans=new BigDecimal(1);
    	ans=ans.multiply(Con.m[n]);
                    ans=ans.multiply(Con.m[m]);
    	B=Cho.C[n+m][n].subtract(Cho.C[n+m][n+1]);
    	ans=ans.multiply(B);
                    System.out.println(ans);
                }
            }
        }
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/jie-dcai/p/4009254.html
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