n+m个人排队买票,并且满足,票价为50元,其中n个人各手持一张50元钞票,m个人各手持一张100元钞票,除此之外大家身上没有任何其他的钱币,并且初始时候售票窗口没有钱,问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。
这个题目是Catalan数的变形,不考虑人与人的差异,如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题,也就是将手持50元的人看成是+1,手持100元的人看成是-1,任前k个数值的和都非负的序列数。
这个题目区别就在于n>m的情况,此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑,假设我们要的情况数是,无法让每个人都买到的情况数是,那么就有,此时我们求,我们假设最早买不到票的人编号是k,他手持的是100元并且售票处没有钱,那么将前k个人的钱从50元变成100元,从100元变成50元,这时候就有n+1个人手持50元,m-1个手持100元的,所以就得到,于是我们的结果就因此得到了,表达式是
这个证明漂亮。http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html
虽然知道卡特兰数一般证明方法,但这个题的变形我却不会证,唉,看来自己还差得远了。。。。
import java.math.BigDecimal; import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; import java.io.InputStreamReader; class Conmul{ BigDecimal []m; Conmul(){ m=new BigDecimal[101]; m[0]=new BigDecimal(1); BigDecimal TMP; for(int i=1;i<=100;i++){ TMP=new BigDecimal(i); m[i]=m[i-1].multiply(TMP); } } } class Choice{ BigDecimal [][]C; Choice(){ C=new BigDecimal[201][201]; BigDecimal B,D; for(int i=0;i<=200;i++){ for(int j=0;j<=200;j++){ if(j==0) C[i][j]=new BigDecimal(1); else if(j>i) C[i][j]=new BigDecimal(0); else{ B=new BigDecimal(i-j+1); D=new BigDecimal(j); C[i][j]=C[i][j-1].multiply(B); C[i][j]=C[i][j].divide(D); } } } } } public class Main{ public static void main(String args[]){ Scanner in=new Scanner(System.in); BigDecimal []Can=new BigDecimal[101]; Can[0]=new BigDecimal(1); BigDecimal B,C,D; Conmul Con=new Conmul(); Choice Cho=new Choice(); for(int i=1;i<=100;i++){ B=new BigDecimal(4*i-2); C=new BigDecimal(i+1); D=Can[i-1].multiply(B); Can[i]=D.divide(C); } int kase=0; while(in.hasNext()){ int n=in.nextInt(); int m=in.nextInt(); if(m==0&&n==0) break; kase++; System.out.println("Test #"+kase+":"); if(m>n){ System.out.println(0); } else if(m==n){ BigDecimal ans=new BigDecimal(1); ans=Con.m[n].multiply(Con.m[m]); ans=ans.multiply(Can[m]); System.out.println(ans); } else{ BigDecimal ans=new BigDecimal(1); ans=ans.multiply(Con.m[n]); ans=ans.multiply(Con.m[m]); B=Cho.C[n+m][n].subtract(Cho.C[n+m][n+1]); ans=ans.multiply(B); System.out.println(ans); } } } }