我很早就一直想写一篇文章，跟大家聊一聊：
$$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2} +frac{1}{3^2} +frac{1}{4^2} +frac{1}{5^2} +cdots = frac{π^2}{6}$$ 但一直没有机会，这次放暑假正好有空，于是手就痒了，写下此文，供大家娱(yǎ)乐(shǎng)。
本文假设读者热爱数学，并且曾经掌握过高中数学知识。
1. 首先我们要复习一下三角函数。
对于任意的角 $x$， 我们有 ${sin^2 x}+cos^2x=1$，这跟勾股定理是一回事。
接下来是一个重要的公式，建议读者通过画图理解
$$sin(2x) = 2 sin x cos x$$
然后通过画出三角函数图像的方式，我们还可以轻易验证如下两条公式egin{align*}cos x & = sin (x+frac{π}{2}) \ sin x & =sin(π-x) end{align*}
2. 现在我们可以开始证明了。
(该证明取自美国数学月刊2002年2月第109期 pp. 196-200 作者系Josef Hofbauer。)
2.1
由于 $sin(2x) = 2 sin x cos x$，所以 $$sin x= 2 sin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})$$取倒数，平方，得 $$frac{1}{sin^2 x} = frac{1}{4}frac{1}{sin^2(x/2)cos^2(x/2)}$$然后根据 ${sin^2 x}+cos^2x=1$，我们有$$frac{1}{sin^2 x} = frac{1}{4}frac{sin^2 (x/2)+cos^2 (x/2)}{sin^2(x/2)cos^2(x/2)}=frac{1}{4}( frac{1}{cos^2(x/2)} + frac{1}{sin^2(x/2)})$$接下来利用性质，$cos(x/2) = sin((x+π)/2)$，可得关系式
$$ frac{1}{sin^2 x} = frac{1}{4} (frac{1}{sin^2frac{x}{2}} + frac{1}{sin^2frac{x+π}{2}}) (*) $$这是证明中最最核心的一步，我们称这个关系式为“(*)”。
根据定义可知 $$sin(π/2) =\, sin90°=1$$然后平方，取倒数，并反复利用(*)式，我们有 egin{align*}
1 & = frac{1}{sin^2(π/2)} \
& =frac{1}{4} (frac{1}{sin^2(π/4)} + frac{1}{sin^2(3π/4)}) \
& =frac{1}{4^2} (frac{1}{sin^2(π/8)} + frac{1}{sin^2(3π/8)}+frac{1}{sin^2(5π/8)} + frac{1}{sin^2(7π/8)})\
& = dots
end{align*}可以这样一直做下去。
现在，利用恒等式 $sin(π-x)=sin x$，可得 egin{align*}
1 & =frac{2}{4^2} (frac{1}{sin^2(π/8)} + frac{1}{sin^2(3π/8)}) \
& =frac{2}{4^3} (frac{1}{sin^2(π/16)} + frac{1}{sin^2(3π/16)}+frac{1}{sin^2(5π/16)} + frac{1}{sin^2(7π/16)}) \
& ={frac{2}{4^4} (frac{1}{sin^2(π/32)} + frac{1}{sin^2(3π/32)}+frac{1}{sin^2(5π/32)} +dots + frac{1}{sin^2(15π/32)})}\
& = dots
end{align*}我们将这个关系称为“(**)”式
2.2
有读者可能要问，为什么要像刚才那样做，其实原因马上就很清楚了，目的只有一个：让所有 $sin()$里的值都是锐角。
因为对于锐角$x$，我们有 $sin x < x < an x$
取倒数，平方，得$$frac{1}{sin^2 x} > frac{1}{x^2} > frac{1}{ an^2 x}$$而我们又知道
$$frac{1}{ an^2 x}=frac{cos^2 x}{sin^2 x}=frac{1-sin^2 x}{sin^2 x}=frac{1}{sin^2 x}-1$$所以
egin{align}frac{1}{sin^2 x}-1<frac{1}{x^2}<frac{1}{sin^2 x}end{align}现在结合前面推导的关系(**):
egin{align}1= frac{2}{4^4} (frac{1}{sin^2(π/32)} + frac{1}{sin^2(3π/32)}+frac{1}{sin^2(5π/32)} +dots + frac{1}{sin^2(15π/32)})end{align}我们可以得到如下不等关系
egin{align}
1-frac{2}{4^4}*2^3 & <{frac{2}{4^4} (frac{1}{(π/32)^2} + frac{1}{(3π/32)^2}+frac{1}{(5π/32)^2} +dots + frac{1}{(15π/32)^2})} < 1\
1-frac{2}{4^4}*2^3 & < {frac{2}{4^4}* 4^5 (frac{1}{π^2} + frac{1}{(3π)^2}+frac{1}{(5π)^2} +dots + frac{1}{(15π)^2})} <1\
1-frac{1}{2^4}& < { 8\,(frac{1}{π^2} + frac{1}{(3π)^2}+frac{1}{(5π)^2} +dots + frac{1}{(15π)^2})} <1
end{align}
（各位读者请注意，刚才这三个不等关系(3)(4)(5)可能需要花时间仔细读懂。尤其是(3)，是全文中最难理解的一步，希望读者能耐心地读懂：如何可以从之前的公式(1)(2)推导出(3)？）
2.3
通过观察，我们可以发现，之前在(**)中，我们只用到$$1 = {frac{2}{4^4} (frac{1}{sin^2(π/32)} + frac{1}{sin^2(3π/32)}+frac{1}{sin^2(5π/32)} +dots + frac{1}{sin^2(15π/32)})}$$如果在之前，多利用(*)几次，使得(**)中 $sin$ 的项数由 $8=2^3$ 项 增长为 $2^n$
则有$$1-frac{1}{2^{n+1}} < {8(frac{1}{π^2} + frac{1}{(3π)^2}+frac{1}{(5π)^2} +cdots +
frac{1}{((2^{n+1}-1)π)^2})}<1$$当n很大时，$frac{1}{2^{n+1}}$可以忽略不计，所以我们有 $${\,8\,(frac{1}{π^2} + frac{1}{(3π)^2}+frac{1}{(5π)^2}+frac{1}{(7π)^2} +cdots)}= 1$$ 即 $$frac{1}{1^2}+frac{1}{3^2} +frac{1}{5^2} +frac{1}{7^2} +cdots =frac{π^2}{8} $$
2.4
现在我们离结论只有一步之遥,
令 $$zeta(2) = frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2} +frac{1}{3^2} +frac{1}{4^2} +frac{1}{5^2} +cdots $$ 那么 $$ frac{zeta(2)}{4} = frac{1}{2^2}+frac{1}{4^2} +frac{1}{6^2} +frac{1}{8^2} +frac{1}{10^2} +cdots $$ 两式相减，就能得到 $$zeta(2)-frac{zeta(2)}{4} = frac{1}{1^2}+frac{1}{3^2} +frac{1}{5^2} +frac{1}{7^2} +cdots =frac{pi^2}{8} $$所以 $3zeta(2) /4 = π^2/8$，求得 $zeta(2) = π^2/6$，即我们要证的结论：
$$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2} +frac{1}{3^2} +frac{1}{4^2} +frac{1}{5^2} +cdots = frac{π^2}{6}$$
证明完毕！
怎么样，好玩吧，数学永远是这样，用最巧妙的逻辑链条构造最美丽的证明。
只要有一点点好奇心，和足够的耐心，人人都可以享受数学的乐趣。
祝大家暑假愉快。
贾博名
2014年6月20日 于 美国俄亥俄州哥伦布市
(最新一次更新于2016年6月19日，再次感谢孙豪同学对本文初稿的认真阅读，并指出了多处笔误，现已更正。)