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在之前的文章中提到过可以把 ReLU 合并到 Conv 中加速量化推理，当时只是用一个例子简单介绍一下过程，逻辑上存在一些漏洞。本文打算从数学上深入剖析一下其中的原理，并进一步扩展到其他激活函数，看看在网络量化中激活函数一般是怎么处理的。
温故知新
为了简单起见，假设我们是量化到 uint8 的数值范围「即0~255」。回忆一下量化的基本公式「我在之前的文章中多次强调这几个公式，它们非常重要」
再简单重复一下符号的含义，(r) 表示实数，(q) 表示量化后的定点数，(S) 和 (Z) 分别是是 scale 和 zero point。
注意，这次我对 (q) 单独加了一个 clip 操作，在之前的文章中，这一步在公式中被我省略了，不过在实际量化的时候，这一步是必须的，否则会有数值溢出的危险。
现在，假设激活函数为 (f(x))，应用到实数域上是这个样子：
那么把 (1) 式代入后可以得到量化的公式：
这就是量化时处理所有激活函数的总口诀，别看它平平无奇，但话越少，信息量越多。下面，我们就看看针对具体的激活函数，怎么运用这个公式。
ReLU
ReLU 是一个非常简单的函数，它除了把小于 0 的数值截断外，甚至不做任何操作：
如果把上面的函数 (f) 替换成 ReLU 的公式，就可以得到：
把 (1) 式代入就变成：
换算一下可以得到：
这是量化 ReLU 最通用的运算，其中 (frac{S_1}{S_2}) 可以通过之前文章讲的定点数 + bitshift 来实现。
需要重点指出的是，ReLU 之后，(Z_2) 永远等于 0。因为 ReLU 会把实数域上小于 0 的数全部截断为 0，此时去统计实数域的范围，可以发现是 0~a，而我们量化的数值范围是 0～255，为了保证零点对齐，因此 (Z_2) 只能取 0。
当然啦，具体实现上没有必要完全按照 (8) 式来操作。一来公式内的 scale 操作过于麻烦还掉精度，二来 ReLU 本身是有明确的物理意义的，那就是把小于零点的数值截断，其余不变。这个意义在量化里面依然成立。
因此，我们其实可以用一种更简洁明了的方式来实现量化的 ReLU：
如果是使用这个公式，那 ReLU 前后的 scale 和 zeropoint 是要保持一致的，这一点可以从 ReLU 本身的物理含义出发得出。
tflite 里面就是用了这个简化的公式来实现 ReLU 的功能「下面这段代码参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/internal/reference/reference_ops.h#L214」：
template <typename T>
inline void ReluX(const tflite::ActivationParams& params,
const RuntimeShape& input_shape, const T* input_data,
const RuntimeShape& output_shape, T* output_data) {
gemmlowp::ScopedProfilingLabel label("Quantized ReluX (not fused)");
const int flat_size = MatchingFlatSize(input_shape, output_shape);
const T max_value = params.quantized_activation_max;
const T min_value = params.quantized_activation_min;
for (int i = 0; i < flat_size; ++i) {
const T val = input_data[i];
const T clamped =
val > max_value ? max_value : val < min_value ? min_value : val;
output_data[i] = clamped;
}
}
可以看出，这个量化的 ReLU 和浮点数版本的 ReLU 逻辑上几乎没有区别。
ReLU如何勾搭上Conv
其实不止是 Conv，全连接层 FC 等也可以和 ReLU 合并。我们来看看为什么。
同样地，假设一个卷积操作为 (r_3=sum_{i}^N r_1^i r_2^i)，按照之前文章的描述，量化后的公式为：
现在，(q_3) 进入 ReLU 进行运算得到 (q_4)，按照上面的推算可以得出：
换算一下得到：
到这里，这个式子仍然是 ReLU 的形式。换句话说，我们仍然要走两个分支来计算函数的结果。
但是，如果要把 ReLU 合并到 Conv 中，就必须得用 Conv 的运算来代替这个分支运算。换句话说，(q_4) 无论跑哪个分支，都必须可以用 (frac{S_1S_2}{S_4}sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)+Z_4) 直接计算出来，我们才能实现 Conv 和 ReLU 的合并。
这时，就要用到量化中的 clip 操作了。上面式子 (12)，其实更严格的写法应该是：
前面说了，(Z_4=0)。如果 (q_3 < Z_3)，那么等价地 (sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)<0)，此时会跑第二个分支得到 (q_4=Z_4)。但是，由于有 clip 操作，在这种情况下，(q_4=clip(frac{S_1S_2}{S_4}sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)+Z_4, 0, 255)=0=Z_4)，因此，我们发现，无论跑哪个分支，最后都可以统一用下面这个式子来表示：
而这个公式的意义相当于：我们计算出 ReLU 之后的 (S) 和 (Z)，然后把这个 (S) 和 (Z) 对应到 Conv 的输出，这样一来，ReLU 的运算就合并到 Conv 里面了。
正如我前面提到的，ReLU 除了做数值上的截断外，其实没有其他操作了，而量化本身自带截断操作，因此才能把 ReLU 合并到 Conv 或者 FC 等操作里面。
LeakyReLU
有读者可能觉得，ReLU 本身的操作很简单，为什么还得用 (8) 式这种绕弯路的方式说一大堆。那是因为 ReLU 本身的性质可以让我们抄近道，如果换成其他函数，这个流程就绕不过去了。
不信来看看 LeakyReLU 是怎么量化的。
LeakyReLU 的公式可以表示成：
这里面的 (alpha) 是我们事先指定的数值，一般是 0~1 之间的小数。
同样地，我们按照文章最开始的总口诀，即公式 (3)(4)，来逐步分析这个函数。把原来的函数 (f) 替换成 LeakyReLU，可以得到：
把 (1) 式代入：
换算一下得到：
此时，由于有 (alpha) 的存在，这两个分支就无法像 ReLU 一样进行合并，自然也就无法整合到 Conv 等操作内部了。
在 tflite 中是将 (alpha) 转换为一个定点数再计算的。具体地，假设 (alpha_q=clip(round(frac{alpha}{S_1}+Z_1), 0, 255))，可以得到：
具体代码如下「参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/activations.cc#L248」：
TfLiteStatus LeakyReluPrepare(TfLiteContext* context, TfLiteNode* node) {
TF_LITE_ENSURE_EQ(context, NumInputs(node), 1);
TF_LITE_ENSURE_EQ(context, NumOutputs(node), 1);
const TfLiteTensor* input = GetInput(context, node, 0);
TfLiteTensor* output = GetOutput(context, node, 0);
TF_LITE_ENSURE_EQ(context, input->type, output->type);
LeakyReluOpData* data = reinterpret_cast<LeakyReluOpData*>(node->user_data);
if (output->type == kTfLiteUInt8) {
const auto* params =
reinterpret_cast<TfLiteLeakyReluParams*>(node->builtin_data);
// Quantize the alpha with same zero-point and scale as of input
data->q_alpha = static_cast<uint8_t>(std::max<float>(
std::numeric_limits<uint8_t>::min(),
std::min<float>(std::numeric_limits<uint8_t>::max(),
std::round(input->params.zero_point +
(params->alpha / input->params.scale)))));
double real_multiplier =
input->params.scale * input->params.scale / output->params.scale;
QuantizeMultiplierSmallerThanOneExp(
real_multiplier, &data->output_multiplier, &data->output_shift);
}
return context->ResizeTensor(context, output,
TfLiteIntArrayCopy(input->dims));
}
这段代码主要是做一些准备工作，把 (alpha_q) 和 (frac{S_1S_1}{S_2}) 等变量事先计算好。
函数本身的具体操作如下「参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/internal/reference/reference_ops.h#L242」：
template <typename T>
inline void QuantizeLeakyRelu(const LeakyReluParams& params, T q_alpha,
const RuntimeShape& input_shape,
const T* input_data,
const RuntimeShape& output_shape,
T* output_data) {
gemmlowp::ScopedProfilingLabel label("LeakyRelu (not fused)");
const int flat_size = MatchingFlatSize(input_shape, output_shape);
static const int32 quantized_min = std::numeric_limits<T>::min();
static const int32 quantized_max = std::numeric_limits<T>::max();
static const int32 alpha_value = q_alpha - params.alpha_offset;
for (int i = 0; i < flat_size; ++i) {
const int32 input_value = input_data[i] - params.input_offset;
if (input_value >= 0) {
output_data[i] = input_data[i];
} else {
const int32 unclamped_output =
params.output_offset + MultiplyByQuantizedMultiplierSmallerThanOneExp(
input_value * alpha_value,
params.output_multiplier,
params.output_shift);
const T clamped_output =
std::min(quantized_max, std::max(quantized_min, unclamped_output));
output_data[i] = static_cast<uint8>(clamped_output);
}
}
}
代码里面的 input_value 就是公式 (19) 里面的 (q_1-Z_1)，tflite 会根据 input_val 的数值情况分两个分支运行，这个过程和 (19) 基本一致。
眼尖的读者可能发现，为啥 (q_1>Z_1) 这个分支，代码里面好像直接令 (q_2=q_1) 了，这跟公式 (19) 描述的好像不一样啊。哈哈，这个地方我也暂时不明白，了解详情的读者请教教我，或者我之后弄懂再补充一下。
非线性函数
对于类 ReLU 函数来说，其实还都是分段线性的，那遇到非线性的函数「比如 sigmoid、tanh」又该怎么量化呢？从 gemmlowp 的文档来看，这些函数其实是用定点运算来近似浮点的效果。这部分内容触及到我的知识盲区，所以就不给大家做深入介绍了，感兴趣的读者可以看一下 gemmlowp 的源码进一步了解：https://github.com/google/gemmlowp/blob/master/fixedpoint/fixedpoint.h。
虽然我对里面的原理了解不多，但还是有一点点落地的经验。我曾经用高通骁龙的 SNPE 工具量化了 tanh 函数，但在 DSP 上跑定点运算的时候，发现耗时比在 GPU 上跑浮点运算满了 100 倍左右。
因此对于有落地需求的同学来说，我的建议是网络中尽量不要包含这类非线性函数。如果实在要有的话，要么尝试把网络拆成几块，一些跑定点，一些跑浮点，要么就是用一些线性函数来近似这些非线性函数的效果。
总结
这篇文章主要讲了网络量化中如何处理激活函数，并从数学上进一步剖析为何 ReLU 可以和 Conv 等操作合并。
你可能已经发现，网络量化这个课题跟底层的实现联系非常紧密，比如涉及到 gemmlowp、neon 等底层函数库等。有读者会说：我只想老老实实研究算法，对这些底层的运算不了解也没兴趣了解啊！
对于这部分读者，其实也不用焦虑，诚然，网络量化对底层的联系相比其他深度学习算法而言更加紧密，但对于顶层的算法开发人员，只需要大概知道底层是怎么运行的就可以，而把更多的精力放在对量化算法的改进上。当然啦，如果想成为一流的网络量化专家，熟悉底层还是很有必要的，否则你怎么知道未来算法的发展趋势呢？
PS. 最近陆续填了一些坑，之后应该会介绍一些更前沿且对落地比较友好的论文和技术了。感谢大家在我断更这么久后依然不离不弃。