比赛时间 2019.10.19 8:00 - 2019.10.20 8:00
比赛网站 https://csacademy.com/ieeextreme13
// 连续24小时做题真的是极限体验
// 刚比完躺了醒来就会做压轴题了，吐血 = =
Alfa Pool
题目大意
有一种比赛的计分规则为：相邻得分下一次将加倍，两次连续不得分则终止比赛，每次从1开始得分。计算有多少种方式使总分为B， B = 5 的全部情况如下表。询问包含 N 组，每次求总分为 (B_i) 的方案数对 1e9+7 取模的结果。
1 X 1 X 1 X 1 X 1 X X
X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X X
1 2 X 1 X 1 X X
X 1 2 X 1 X 1 X X
1 X 1 2 X 1 X X
X 1 X 1 2 X 1 X X
1 X 1 X 1 2 X X
X 1 X 1 X 1 2 X X
数据范围
- (1≤N≤10^4)
- (0 leq B_i≤10^5)
解题思路
分别尝试直接爆搜，分块爆搜（每一块得分为 (2^k -1)） 都 TLE ，只通过了一组测试。
由于答案没有递推性质，打表找不出规律，队友通过OEIS大法找到了该问题的数列，但求法太复杂，遂放弃。
注意到 B 不超过 1e5，最大的一部分得分为 (2^{16} - 1=65535)，那么全部能选的分数只有 16 种可能。
考虑设 dp[n][k] ： 总得分为 n 最后一部分得分为 (2^k-1) 的方案数（1<=k<=16)，那么就可以写出状态转移方程了。
const int p[17] = {0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047,4095,8191,16383,32767,65535};
// Ans[n][0] : 总得分为 n 的全部方案数
Ans[i][0] += Ans[i][j] (1<=j<=16)
Ans[i+p[j]][j] += Ans[i][0] (1<=j<=16)
// 答案即为 2*Ans[B][0]
AC代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
const int p[17] = {0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047,4095,8191,16383,32767,65535};
int Ans[100010][17];
// Ans[n][0] : ans[n]
void init() {
Ans[0][0] = 1;
for(int i=0;i<=100000;i++) {
for(int j=1;j<=16;j++) {
Ans[i][0] = (Ans[i][0] + Ans[i][j]) % mod;
}
for(int j=1;j<=16;j++) {
if(i+p[j]<=100000)
Ans[i+p[j]][j] = (Ans[i+p[j]][j] + Ans[i][0]) % mod;
}
}
}
int main() {
init();
int n; cin>>n;
while(n--) {
int B;
scanf("%d", &B);
if(B==0) printf("1
");
else
printf("%d
", 2*Ans[B][0]%mod);
}
return 0;
}
Ranged Alfa Pool
该题与上一题为最后两小时出的压轴题，题目背景一致，条件改为求得分在一个区间段内的方案数。同时 (B_i) 加强到 (10^6) 上限，时限 2s，能够直接才用上题思路，预处理前缀和即可。
Googolplex
题目大意
已知 (googolplex = 10^{10^{100}}) ， 给定 X，Y，求最小的 (t = (X^{googolplex+T}) mod 10^Y) 。
其中
- (1≤N≤20)
- (1 leq X leq 10^8)
- (1 leq Y leq 9)
- (0 leq T leq 86399)
解题思路
显然利用欧拉降幂公式直接算，枚举 T 找到最小值。
坑点：取余过程中会出现 0，那么 (a ^ 0 = 1)则会出现错误，本意为求 (a ^ {phi(p)}) 。
AC代码
// 幸亏没有罚时，经历了一路 TLE - TLE - … - WA - WA … - AC 的艰难debug历程，数论不好我的锅 T_T
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll base[10] = {1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};
ll expp[10] = {2,5,40,400,4000,40000,400000,4000000,40000000,400000000};
ll qpow(ll a, ll n, ll p) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n&1) res = res * a % p;
a = a*a % p;
n >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
int t; cin>>t;
while(t--) {
ll X, Y;
scanf("%lld %lld", &X, &Y);
ll a = qpow(X, expp[Y], base[Y]), b = 1;
Y = base[Y];
ll ans = 2*Y;
for(int T=0;T<=86399;++T) {
ans = min(ans, a*b%Y);
b = (b*X)%Y;
}
printf("%lld
", ans);
}
return 0;
}
/*
// 初始版本正确写法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll base[10] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000};
ll qpow(ll a, ll n, ll p) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n&1) res = res * a % p;
a = a*a % p;
n >>= 1;
}
return res;
}
ll phi(ll x) {
ll res = x;
for(ll i=2;i*i<=x;i++) {
if(x%i==0) {
res = res/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
}
if(x>1) res = res/x *(x-1);
return res;
}
ll cal(ll x, ll p) {
ll ph1 = phi(p);
ll ph2 = phi(ph1);
ll ten_100 = qpow(10, 100, ph2);
if(ten_100==0) ten_100 += ph2; // 不写就会WA!!!
ll ten_ten_100 = qpow(10, ten_100, ph1);
if(ten_ten_100==0) ten_ten_100 += ph1; // 不写就会WA!!!
return qpow(x, ten_ten_100, p);
}
int main() {
int t; cin>>t;
while(t--) {
ll X, Y;
scanf("%lld %lld", &X, &Y);
Y = base[Y];
ll a = cal(X, Y), b=1;
ll ans = 2*Y;
for(ll T=0;T<=86399;T++) {
// b = qpow(X, T, Y); TLE
ans = min(ans, a*b%Y);
b = b*X % Y;
}
printf("%lld
", ans);
}
return 0;
}
*/