• BZOJ3529: [Sdoi2014]数表


    BZOJ3529: [Sdoi2014]数表

    Description

    有一张 n×m 的数表,其第 i 行第 j 列(1 <= i <= n, 1 <= j <= m)的数值为能同时整除 i 和 j 的所有自然数之和。
    给定 a , 计算数表中不大于 a 的数之和。

    Input

    输入包含多组数据。
    输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数
    接下来Q行,每行三个整数n,m,a(|a| < =10^9)描述一组数据。
    1 < =N.m < =10^5  , 1 < =Q < =2×10^4

    Output

    对每组数据,输出一行一个整数,表示答案模2^31的值。

    Sample Input

    2
    4 4 3
    10 10 5

    Sample Output

    20
    148

    题解Here!

    莫比乌斯反演的标准模板题。

    首先,把那个$a$的约束与取模运算先丢一边去。

    设$f(x)$为题目要求的约束和,即$f(x)=sum_{d|x}d$。

    先保证$n<=m$。

    那么题目要求的就是:$Ans=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mf(gcd(i,j))$。

    套路,更换枚举项:
    $$Ans=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^nsum_{j=1}^mf(d)[gcd(i,j)==d]$$

    把那个$f(d)$提到前面来:
    $$Ans=sum_{d=1}^nf(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$$

    后面这个式子好熟悉啊:$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$

    板子了,不会请看这里:洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries

    于是:
    $$Ans=sum_{d=1}^nf(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}mu(i)lfloorfrac{n}{id} floorlfloorfrac{m}{id} floor$$

    那个$id$很烦人,设$D=id$,则:
    $$Ans=sum_{D=1}^nsum_{d|D}f(d)mu(frac{D}{d})lfloorfrac{n}{D} floorlfloorfrac{m}{D} floor$$

    后面那一堆与$d$无关,提到前面来:
    $$Ans=sum_{D=1}^nlfloorfrac{n}{D} floorlfloorfrac{m}{D} floorsum_{d|D}f(d)mu(frac{D}{d})$$

    很显然嘛,前面的数论分块。

    那后面的$f(d)$呢?又不能线性筛。。。

    等等,不能线性筛就暴力算啊!

    每个数暴力算到它的倍数里去。

    复杂度?

    首先有个式子:(别问我怎么证明的,我也不知道。。。)
    $$frac{n}{1}+frac{n}{2}+frac{n}{3}+...+frac{n}{n}=nlog_2n$$

    于是复杂度就是$O(nlog_2n)$的。

    再看$a$的限制。

    我们可以离线处理,将询问按$a$从小到大排序,$i$按$f(i)$从小到大排序。

    每次询问将$f(i)<=a$的$i$插入树状数组,维护前缀和。

    那,取模怎么办?

    因为模数是$2^{31}$,正好是$int$型的二进制上限。

    我们可以令其自然溢出,最后输出的时候按位与$2^{31}-1$即可。

    复杂度是$O(nlog_2n+qsqrt nlog_2n)$。

    附代码:

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstdio>
    #define MAXN 100010
    using namespace std;
    int n=0,q;
    int bit[MAXN],ans[MAXN];
    int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN],sum[MAXN],pos[MAXN];
    bool np[MAXN];
    struct Question{
        int n,m,a,id;
    }que[MAXN];
    inline int read(){
        int date=0,w=1;char c=0;
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
        return date*w;
    }
    inline bool cmp1(const int &p,const int &q){
        return sum[p]<sum[q];
    }
    inline bool cmp2(const Question &p,const Question &q){
        return p.a<q.a;
    }
    inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
    inline void update(int x,int v){for(;x<=n;x+=lowbit(x))bit[x]+=v;}
    inline int query(int x){int s=0;for(;x;x-=lowbit(x))s+=bit[x];return s;}
    void make(){
        int m=n;
        mu[1]=1;
        for(int i=2;i<=m;i++){
            if(!np[i]){
                prime[++k]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
                np[prime[j]*i]=true;
                if(i%prime[j]==0)break;
                mu[prime[j]*i]=-mu[i];
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            pos[i]=i;
            for(int j=i;j<=m;j+=i)sum[j]+=i;
        }
        sort(pos+1,pos+m+1,cmp1);
    }
    int solve(int n,int m){
        int ans=0;
        for(int i=1,last=1;i<=n;i=last+1){
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(n/i)*(m/i)*(query(last)-query(i-1));
        }
        return ans;
    }
    void work(){
        for(int i=1,now=1;i<=q;i++){
            for(;sum[pos[now]]<=que[i].a&&now<=n;now++)
            for(int k=pos[now];k<=n;k+=pos[now])
            update(k,sum[pos[now]]*mu[k/pos[now]]);
            ans[que[i].id]=solve(que[i].n,que[i].m);
        }
        for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d
    ",ans[i]&2147483647);
    }
    void init(){
        q=read();
        for(int i=1;i<=q;i++){
            que[i].n=read();que[i].m=read();que[i].a=read();
            if(que[i].n>que[i].m)swap(que[i].n,que[i].m);
            que[i].a=max(0,que[i].a);
            que[i].id=i;
            n=max(n,que[i].m);
        }
        sort(que+1,que+q+1,cmp2);
    }
    int main(){
        init();
        make();
        work();
        return 0;
    }
    
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