题意：
(T(1 le T le 50000))次询问，每次给出(n, m(1 le n, m le 50000))，求(sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} d(ij))，其中(d(n))表示(n)的约数个数
分析
有个结论：
$$sum_{x_1}^{y_1} sum_{x_2}^{y_2} cdots sum_{x_k}^{y_k} d(x_1 x_2 cdots x_k) = sum_{x_1}^{y_1} sum_{x_2}^{y_2} cdots sum_{x_k}^{y_k} prod_{i=1}^{k} left lfloor frac{y_i}{x_i} ight floor prod_{i < j } [(x_i, x_j)=1]$$
（证明是二大重数学归纳，数学恐惧症的快快离开。
首先对于(k=1)，我们可以通过算贡献证明。现在我们对(k>1)进行归纳：
我们需要证明：$$d_1(y_1, y_2, cdots, y_k) = sum_{x_1}^{y_1} sum_{x_2}^{y_2} cdots sum_{x_k}^{y_k} d(x_1 x_2 cdots x_k) = f_1 (y_1, y_2, cdots, y_k) = sum_{x_1}^{y_1} sum_{x_2}^{y_2} cdots sum_{x_k}^{y_k} prod_{i=1}^{k} left lfloor frac{y_i}{x_i}
ight
floor prod_{i < j} [(x_i, x_j)=1]$$
我们通过(y_1)来归纳：
首先(y_1=1)时，发现就是(k-1)维的证明，根据归纳条件，成立。
然后对于(y_1 > 1)，我们设$$d_2(y_1, y_2, cdots, y_k) = d_1(y_1, y_2, cdots, y_k) - d_1(y_1-1, y_2, cdots, y_k)$$ $$f_2(y_1, y_2, cdots, y_k) = f_1(y_1, y_2, cdots, y_k) - f_1(y_1-1, y_2, cdots, y_k)$$然后用(y_2)归纳(d_2 = f_2)。一直这样做下去，直到需要归纳(d_{k+1} = f_{k+1})：
就是需要证明这个结论：
这个结论通过讨论质因子的贡献就能证明出。
题解
于是剩下的不多说，分块大法。
$$ egin{align} ans & = sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} d(ij) \
& =
sum_{i=1}^{n}
sum_{j=1}^{m} left lfloor frac{n}{i}
ight
floor left lfloor frac{m}{j}
ight
floor [(i, j)=1]
& =
sum_{d=1}^{n} mu(d)
sum_{i=1}^{ left lfloor frac{n}{d}
ight
floor }
sum_{j=1}^{ left lfloor frac{m}{d}
ight
floor } left lfloor frac{n}{id}
ight
floor left lfloor frac{m}{jd}
ight
floor
& =
sum_{d=1}^{n} mu(d)
sum_{i=1}^{ left lfloor frac{n}{d}
ight
floor } left lfloor frac{ left lfloor frac{n}{d}
ight
floor }{i}
ight
floor
sum_{j=1}^{ left lfloor frac{m}{d}
ight
floor } left lfloor frac{ left lfloor frac{m}{d}
ight
floor }{j}
ight
floor
end{align}