《算法竞赛进阶指南》 第一章 Acwing 91. 最短Hamilton路径

地址  https://www.acwing.com/problem/content/93/

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数 n。

接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

解法

Hamilton路径就是指定起点和终点的不重不漏的遍历每个点的路径

那么这题的暴力做法是 深度或者广度搜索出 0~n-1点的各种排列组合 然后遍历得出最短路径

复杂度过高  排列组合的复杂度是n!  计算最短路径遍历n个点  总复杂度就是 O(n*n!)

对于 0 1 2 3 4 5。

0 和 5 是确定的开头和结尾 .

如果倒数第二个点是4号点

那么 我们只关心 经过 1 2 3 到4号点的最短路径  0-> 123->4->5

如果倒数第二个点是3号点

那么 我们只关心 经过 1 2 4 到3号点的最短路径  0-> 124->3->5

我们使用某个数据结构记录 某个路径下以x点结尾最短路径就可以避免重复计算 达到加速目的

我们使用状态压缩的方案 使用二进制数标记某点是否被经过，0表示未经过，1表示经过

那么经过一系列路径state 最后重点为x的最短路径表达为  dp[state][x]

yi= state表示的路径上的非x的各个点

dp[state][x] = min( dp[state-y_i][x] + distance[y_i][x] )

#include <iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;


const int N =30;
const int M = 1<<20;

int dis[N][N];
int dp[M][N];

int n;

int main(){
    cin >> n;
    
    for(int i =0;i<n;i++){
        for(int j = 0;j<n;j++){
            cin >> dis[i][j];    
        }
    }
    
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);
    dp[1][0]=0;
    
    for(int i =0;i< (1<<n);i++){
        for(int j = 0;j<n;j++){
            if(i>>j&1){
                for(int k = 0; k < n;k++){
                    if((i-(1<<j))>>k&1){
                        dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[(i-(1<<j))][k]+dis[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    cout << dp[(1<<n)-1][n-1] << endl;
    
    return 0;
}