• 题解 P3978 【[TJOI2015]概率论】


    这道题。。。好像是第一道我自己切出来的黑题。。。

    先说一句,牛顿二项式蒟蒻并不会,可以说是直接套结论。

    求诸位老爷轻喷。


    这道题用卡特兰数搞。

    卡特兰数这玩意从普及组初赛一路考到省选,十分有用。

    如果不清楚这个概念的话可以看一下这里

    卡特兰数是有两种计算方法:

    1) 用递推算。

    2) 用排列组合。

    用它解题的流程一般是先说明所求的问题可以归到第一类中,然后再用第二类来计算具体的值。

    这道题就可以用卡特兰数水过。


    我们假设(f_i)表示节点数为i的二叉树有多少种。

    那么可以发现存在这样的关系:(f_i=sum_{k=1}^{i-1}f_{k}f_{i-k-1})

    这个东西满足卡特兰数的第一类表示方法。

    所以运用第二类表示方法就可以得到(f_i=frac{1}{n+1}C^n_{2n})

    现在我们用(h_i)表示节点数为i的二叉树的叶子节点数量。

    那根据(f_i)的值我们就可以得出递推式:(h_i=2sum_{k=0}^{i-1}h_kf_{i-k-1})

    也就是(h_i=C^{i-1}_{2i-2})

    那么最终的答案就是(frac{h_i}{f_i}=frac{C^{i-1}_{2i-2}}{frac{1}{n+1}C^n_{2n}}=frac{n(n+1)}{2(2n-1)})

    代码:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #define qwq int
    #define QAQ double
    #define re register
    using namespace std;
    namespace Solve{
    	inline void read(qwq &x){
    		x=0;qwq f=1;char c=getchar();
    		for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
    		for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';
    		x*=f;
    	}
    	qwq n;
    	QAQ ans;
    	inline void solve(){
    		read(n);
    		ans=(QAQ)n*(QAQ)(n+1)/(QAQ)(2*n-1)/2;
    		printf("%.9lf",ans);
    	}
    }
    using namespace Solve;
    qwq main(){
    	solve();
    }
    
    
    
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