【单调队列优化DP】BZOJ1855-[Scoi2010]股票交易

【题目大意】

　　已知第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。 股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。 在第1天之前，有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），没有任何股票，求T天之后最多赚到多少钱？

【思路】

f[i][j]表示表示到第i个交易日手中持有至多j股时的最大收益。

1、从前一天不买不卖:f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j])

2、从i-W-1天买股:f[i][j]=max(f[i-W-1][k]-(j-k)*AP[i],f[i][j])

　　f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+k*AP[i])-j*AP[i]

　  令g[i-W-1][k]=f[i-W-1][k]+k*AP[i] → f[i][j]=max(g[i-W-1][k]) - j*AP[i]

3、从i-W-1天卖股:f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+(k-j)*BP[i],f[i][j])

　　f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+k*BP[i])-j*BP[i]。

      令g'[i-W-1][k]=f[i-W-1][k]+k*BP[i] → f[i][j]=max(g'[i-W-1][k]) - j*BP[i]

由于对于g[i-W-1][j]与g'[i-W-1][j]均满足：若j1>j2且g[i-W-1][j1]>g[i-W-1][j2]，则不必保留g[i-W-1][j2]。所以可以用单调队列来进行优化。

#关于初始化#f[0][0]=0，对于1~W+1天，仅存在买入操作，初始值为-AP[i]*j。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define pre i-W-1
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
const int MAXN=2000+5;
struct node
{
    int f,pos;    
};
int T,MaxP,W;
int AP[MAXN],BP[MAXN],AS[MAXN],BS[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];//表示到第i个交易日手中持有j股时的最大收益
node q[MAXN];

void init()
{
    scanf("%d%d%d",&T,&MaxP,&W);
    for (int i=1;i<=T;i++) scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
}

void dp()
{
    memset(f,128,sizeof(f));
    for(int i=0;i<=W+1;i++)
    {
        for(int j=0;j<=(min(MaxP,AS[i]));j++)
            f[i][j]=-AP[i]*j;//表示前(w+1)天仅有可能进行买入操作 
    }
    f[0][0]=0; 
    for (int i=1;i<=T;i++)
    {
        for (int j=0;j<=MaxP;j++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
        if (pre>0)
        {
            int head=0,tail=0;
            for (int j=0;j<=MaxP;j++)
            {
                int nowf=f[pre][j]+AP[i]*j;
                while (head<tail && q[tail-1].f<nowf) tail--;
                q[tail++]=(node){nowf,j};
                while (head<tail && q[head].pos<j-AS[i]) head++;
                f[i][j]=max(f[i][j],q[head].f-AP[i]*j);
            }
            
            head=0,tail=0;
            for (int j=MaxP;j>=0;j--)
            {
                int nowf=f[pre][j]+BP[i]*j;
                while (head<tail && q[tail-1].f<nowf) tail--;
                q[tail++]=(node){nowf,j};
                while (head<tail && q[head].pos>j+BS[i]) head++;
                f[i][j]=max(f[i][j],q[head].f-BP[i]*j);
            }
        }
    }
}

void getans()
{
    int ans=-INF;
    for (int i=0;i<=MaxP;i++) ans=max(ans,f[T][i]);
    printf("%d
",ans);
}

int main()
{
    init();
    dp();
    getans();
    return 0;
}