【置换群/模拟】NOIP2005-篝火晚会

【问题描述】

佳佳刚进高中，在军训的时候，由于佳佳吃苦耐劳，很快得到了教官的赏识，成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上，佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有n个同学，编号从1到n。一开始，同学们按照1，2，……，n的顺序坐成一圈，而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序，形成新的一个圈，使之符合同学们的意愿，成为摆在佳佳面前的一大难题。

佳佳可向同学们下达命令，每一个命令的形式如下：

(b1, b2,... bm -1, bm)

这里m的值是由佳佳决定的，每次命令m的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是b1，b2，…… bm -1，bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上，b2换到b3的位置上，……，要求bm换到b1的位置上。

执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动m个人的位置，那么这个命令的代价就是m。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿，你能帮助佳佳吗？

【输入文件】

输入文件fire.in的第一行是一个整数n（3 <= n <= 50000），表示一共有n个同学。其后n行每行包括两个不同的正整数，以一个空格隔开，分别表示编号是1的同学最希望相邻的两个同学的编号，编号是2的同学最希望相邻的两个同学的编号，……，编号是n的同学最希望相邻的两个同学的编号。

【输出文件】

输出文件fire.out包括一行，这一行只包含一个整数，为最小的总代价。如果无论怎么调整都不能符合每个同学的愿望，则输出-1。

【样例输入】

4

3 4

4 3

1 2

1 2

【样例输出】

2

【数据规模】

对于30%的数据，n <= 1000；

对于全部的数据，n <= 50000。

【思路】

假设起始状态为1...n。首先以第一个孩子为起点，模拟实现一个环的目标状态。此时如果建环过程中出现矛盾，直接输出-1；否则，一定可以通过若干次操作移动到目标状态。

由于是环，起点位置可以改变，而且可以正序倒序两种方式。有以下几个结论：

（1）两个数，如果它们和起始状态的差加上n再mod n的结果一样，说明它们共同移动某步，能移动到目标状态。看下面这个例子：

起始状态：1 2 3 4 5

目标状态：1 5 3 2 4

差值：     0 3 0 -2 -1

我们可以发现，对于5和2，(3%5=3),((-2+5)%5=3)相等。而这两个数向右移动两位，都可以到达目标状态。

（2）每次移动一个价值，一定能使得一个数到达自己的目标状态。也就是说，有几个数与目标状态不对应，就需要消耗多少价值。

由此我们可以明白：

把差值(加n %ｎ后)相同个数的最大值ｍａｘ求出来，然后把这几个数假设就在目标状态，那么移动需要的价值为ｎ－ｍａｘ。因为环可以正反，正反各来一次即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN= 50000+500;
int n;
int want[MAXN][2];
int q[MAXN];

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&want[i][0],&want[i][1]);
        want[i][0]--;
        want[i][1]--;
    }
}

int canmake()
{
    q[0]=0;
    q[1]=want[0][0];
    for (int i=1;i<n-1;i++)
    {
        if (q[i-1]!=want[q[i]][0]) q[i+1]=want[q[i]][0];
            else if (q[i-1]!=want[q[i]][1]) q[i+1]=want[q[i]][1];
                else return 0;
    }
    if (want[q[n-1]][0]!=0 && want[q[n-1]][1]!=0) return 0;
    for (int i=0;i<n;i++) cout<<q[i]<<endl;
    return 1;
}

void submain()
{
    int ans=0;
    int appear[MAXN];
    int appear2[MAXN];
    memset(appear,0,sizeof(appear));
    memset(appear2,0,sizeof(appear2));
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        appear[(q[i]-i+n)%n]++;
        appear2[(q[i]+i-1)%n]++;
        if (appear[(q[i]-i+n)%n]>ans) ans=appear[(q[i]-i+n)%n];
        if (appear2[(q[i]+i-1)%n]>ans) ans=appear2[(q[i]+i-1)%n];
    }
    cout<<n-ans<<endl;
}

int main()
{
    //freopen("fire9.in","r",stdin);
    //freopen("fire9.out","w",stdout);
    init();
    if (canmake()) submain();
        else cout<<-1<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}