椭圆曲线加密算法

椭圆曲线密码学（Elliptic curve cryptography），简称ECC，是一种建立公开密钥加密的算法，也就是非对称加密。类似的还有RSA，ElGamal算法等。ECC被公认为在给定密钥长度下最安全的加密算法。比特币中的公私钥生成以及签名算法ECDSA都是基于ECC的。下面简单介绍ECC以及ECDSA的原理。

从公钥加密说起

公钥加密，也称非对称加密。可以说它现在是现代网络安全或者网络信任链的基础。公钥加密最大的特征就是通信双方各有一对公私钥，这一对公私钥有着千丝万缕的数学关系。每个人保存自己的私钥，公开自己的公钥。这样做的好处是不怕通信线路被窃听，因为攻击者拿到公钥是无法解出密文的。公私钥的基本使用场景主要有两种：

假设通信双方叫Alice（公钥A、私钥a）和Bob（公钥B、私钥b）。

公钥加密，私钥解密

Alice写了一封信，她不想让别人知道。于是它用Bob的公钥B对信的明文做了加密，密文为m。之后发送给了Bob。

Bob收到密文m，用自己的私钥b对密文解密，正确的读出了信的内容。

整个过程中，即使窃听者拿到密文m、两个人的公钥A、B都没有什么用，无法解密出任何东西。事实上，只有拥有私钥b的人才能解密出这份信息。换个角度来说，每个人都可以拥有Bob的公钥B，也就是说，每个人都可以创造一份只有Bob可以使用或者说只对Bob来说有效的信息。

私钥加密，公钥解密

Alice写了一份公开声明文件，她用自己的私钥a对文件加了密，生成加密文件m，公布在自己的网站中。

Bob下载了这份声明文件，并用Alice的公钥A进行解密，正确的读出文件内容。

这个过程听起来有点奇怪，Alice既然公布的是声明文件，是想让别人阅读的，而且每个人都可以拿到Alice的公钥A，那么为什么还要加密呢？确实，每个人都可以对文件解密，可是这里的目的主要不是解密，而是对这份文件的来源验证，证明它肯定是由Alice发出的声明。即使文件被恶意篡改，那么此时再拿公钥A解密，就是无效的，由此可证明信息被改动过了，并不是Alice的原来文件。用这种方式使用公私钥可以证明信息的来源并且有不可否定的特性。（即Alice不能否认此信息不是由她发出的，因为只有私钥a可以产生加密文件m）

以上是使用公钥加密算法的基础场景，但事实上用上述方法进行通信还远远不够，例如需要提高加密速度，需要先对文件进行hash；再如不能抵御中间人攻击，（即获取的公钥不一定是正确的）需要引入证书，不过这些不在本文讨论范围之内。下面我们来看ECC是如何产生密钥对的。

椭圆曲线

这一节让我们来了解一些数学知识。

一般来说，椭圆曲线可以用下列方程式表示，a,b,c,d为系数（a≠0，没有重根）

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为：

椭圆曲线下图所示。

$E_1:y^2=x^3-2x+4$曲线

其实椭圆曲线并不是我们高中学习的椭圆形状，其名字的由来是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程。这里用于加密的椭圆曲线的定义是一个特殊情况，完整定义参考这里

椭圆曲线的加法

在这里首先要介绍一下群的概念。群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求

封闭性：∀a,b∈G，a * b ∈ G
结合性：∀a,b,c∈G ，有 (a * b) * c = a * (b * c)
单位元：ョe∈G， ∀a ∈G，有e * a = a * e = a
逆元：∀a ∈G ，ョb∈G 使得 a * b = b * a = e

另外，有一种特殊的群叫阿贝尔群，它除了上面的性质还满足交换律公理 a * b = b * a

举个例子，在整数范围内的加法运算就是一个阿贝尔群（Z，+）。

封闭性：a和b是整数，那么a+b肯定是整数。
结合性：（a + b) + c = a + (b + c)。
单位元：0即为单位元，因为对于所有整数a， a + 0 = 0 + a = a。
逆元： a的逆元为-a，因为a + (-a) = 0,即单位元。

所以（Z,+)是阿贝尔群。

现在，我们来定义椭圆曲线上的加法。

现在有椭圆曲线，曲线上的点P和Q。过P和Q做一条直线，交椭圆曲线为点R',再过R'点做垂直于X轴的直线，交曲线另一点为R，定义P + Q = R。如下图所示。

若P=Q,则为过P点的切线交于椭圆曲线为R'。如下图所示。

这样，称R = 2P。类似的，3P = P + P + P = P + 2P = P + R。也就是说，当给定点P时，“已知数x求点xG的运算”不难，因为有加法的性质，运算起来可以比较快。但反过来，“已知点xG求x的问题”则非常困难，因为只能遍历每一个x做运算。这就是椭圆曲线密码中所利用的“椭圆曲线上的离散对数问题”。