线性DP+树形DP

线性DP

1. 最长上升(不下降)子序列

O(n^2)的基础算法,如果是不下降只用把f[i]<f[j]改成f[i]<=f[j]

方程:f[i]=max(f[j]+1) j∈i+1~n了

ps:每个位置的初始长度都是1!!!!

//最长上升序列
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
int n,a[5005],f[5005];
 
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
     
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        f[i]=1;
    }
//  f[n]=1;每个位置都是1
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(a[i]<a[j])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans;
 
    return 0;
}

O(n*logn)的进阶算法,主要思想是贪心和二分
导弹拦截

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
int a[100005],p,f[100005],k=0;

int main()
{
	
	while(cin>>a[p])
	{ 
		p++;
	}
	f[0]=a[0];
	for(int i=1;i<p;i++)
	{
		if(a[i]<=f[k])
		{
			f[++k]=a[i];
		}
		else
		{
			int x=upper_bound(f,f+k,a[i],greater<int>())-f;
			f[x]=a[i];
		}
	}	
	cout<<k+1<<endl;
	k=0;
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0]=a[0];
	for(int i=1;i<p;i++)
	{
		if(a[i]>f[k])
		{
			f[++k]=a[i];
		}
		else
		{
			int x=lower_bound(f,f+k,a[i])-f;
			f[x]=a[i];
		}
	}	
	cout<<k+1<<endl;
	
	return 0;	
} 

主要是贪心思想,对于每个a[i],如果a[i]>f[end],a[i]就接在f[end];

反之,替换掉f数组中大于a[i]的最小的(upper_bound(f.begin,f.end,a[i]))

不好严格证明,如下为示例:

样例:

14
13 7 9 16 38 24 37 18 4 19 21 22 63 15

过程:

13
7
7 9
7 9 16 38
7 9 16 24
7 9 16 18
7 9 16 18 19
7 9 16 18 19 21 22 63
7 9 15 18 19 21 22 63

2. 最长公共子序列(LCS)

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

方程:f(i,j)={f[i-1,j-1](a[i]=a[j]),max(f[i-1][j],f[i][j-1])(a[i]≠a[j]}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
 
using namespace std;
char a[205],b[205];
int f[205][205];
 
int main()
{
//  ios::sync_with_stdio(false);
 
    scanf("%s",a+1);
    scanf("%s",b+1);
    strlen()
    int lena=strlen(a+1),lenb=strlen(b+1);//从下标1开始计算长度 size t cdecl strlen (const char  Str)
    for(int i=1;i<=lena;i++)
    {
        for(int j=1;j<=lenb;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
            else
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
        }
    }
    cout<<f[lena][lenb];
 
    return 0;
}

最经典的是这个图