天籁数学——数列篇（2）

   

     这篇就扯一下等差数列，只要看到等差数列，就应该有条件反射的想起它的”基本性质”，“扩充性质”和“判定方法”，之后俺们就可以对

相应的题目进行秒杀。

一：基本性质

     1：通项公式：         a_n=a₁+(n-1)d;

     2:  前n项和公式：    S_n=n(a₁+a_n)/2;

                                 S_n=na₁+nd(n-1)/2;

二： 判定方法

    1:  a_n+1 -a_n=d(常数)          =>    {a_n}是等差数列。

    2：2a_n+1=a_n+a_n+2           =>    {a_n}是等差数列。

    3:  a_n=kn+b (k,b为常数)      =>    {a_n}是等差数列。 当然这个是将通项公式变形为一次函数，原型为: a_n=nd+(a₁+d)。

    4：S_n=An²+Bn(A,B为常数)  =>    {a_n}是等差数列。 原理同上，将前N项和公式变形为一元二次函数。

三：扩充性质

    1：  a_n=a_m+(n-m)d              => 这个公式得益于a_n和a_m的通向公式相减。 

                                                     比如：a₉=a₇+2d。

    2:  若m+n=l+r                    => a_m+a_n=a_l+a_r。      

                                                    比如：a₁+a₈=a₂+a₇。

   3： (n+1)a_n-na_n=d(常数)     =>  {na_n}是等差数列。

   4： 若a_n为等差数列，则数列{λa_n+b}(λ,b为常数)是公差为λd的等差数列。

                                                    比如：{3a_n+2} 的数列公差为3d。

   5:  若a_n，b_n都为等差数列，则{λ1a_n+λ2b_n}(λ1,λ2为常数)是公差为λ1d1+λ2d2的等差数列。

                                                    比如：{2a_n+3b_n}的数列公差为2d1+3d2。

   6： 若a_n为等差数列，则 a_k,a_k+m,a_k+2m也仍然为等差数列，公式为md。

   

四：几种模型问题

   1： 我们知道a_n-a_n-1=d(常数)就认为是{a_n}是等差数列，当d=b_n这样的一个变量的时候该如何处理，模型为a_n-a_n-1=b_n。

        证明:  由倒序相加法逆推可知，a_n-a₁=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+...+(a₂-a₁)

                                                        =b_n+b_n-1+...+b₂ 

                                       

            

        具体的例子有： 若a₁=1,a_n=a_n-1+4n,求a_n的问题。

   2：数列的一阶特征方程【对a_n=pa_n-1+q(p!=+-1,q!=0)】的递推公式的通用解法

        比如”猴子吃桃“问题的通项公式为：a_n=2a_n-1+2的通用解法如下：

        ①：通过模型对比，可知: p=2，q=2。

        ②:将a_n,a_n-1替换为x。求出{a_n}数列的特征根x。

            则    x=2x+2

            =>  x=-2

        ③：代入a_n的通用模型公式：     a_n-x=(a₁-x)p^n-1

                                         =>     a_n+2=(1+2)*2^n-1

                                         =>     a_n=3*2^n-1-2  （哈哈，是不是很神奇，对这种模型我们现在有了通用解法,秒杀秒杀）

五：几个小实际应用

      有了这些神器，等差数列的问题相信我们有了比较扎实的基础了,已经不怕不怕了。

1：甲乙两个物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1min走2m，以后每分钟比前1min多走1m，乙每分钟走5m。

    (1)  甲乙开始运动后几分钟相遇。 

    (2)  如果甲乙达到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1min多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后

          第二次相遇。

解答：

     <1>     其实第一小题如果看的出来是等差数列，那么这个问题基本就解决出来一半了。

                甲： 其实是a₁=2，d=1的等差数列，则甲在nmin内走了 2n+n(n-1)/2。

                乙： 在nmin内走了5n。

                =>  2n+n(n-1)/2+5n=70

                => n=7 or n=-20(舍去)

               最后我们知道在min=7的时候第一次相遇。

    <2>     将n=7代入甲可知a₇=8，则第二次相遇时以a₈=9为首项，记为b_n。

                则甲在这kmin内运动距离和为: 9k+k(k-1)/2。

                则乙在kmin内运动距离还是为5k。

                => 9k+k(k-1)/2+5k=70*2

                => k=8 or k=-35(舍)

当然这个问题我们也可以用code去实现，当然什么样的知识程度决定了复杂度。

2：用分期付款的方式购买了家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都付50元，并加付欠款利息，

     月利息1%，利息不计入欠款，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问全部付款完后，买这件家电实际

     花了多少钱？

解答：

    当然这套题仔细一分析还是一套等差数列的题目，付了150元后，余款的1000需要分期付款，每月50元，所以20次就可以付

清了，我们只要求S₂₀即可。

       a₁=50+1000 * 0.1=60

       a₂=50+(1000-50)=59.5

       ...

       a_n=50+(1000-(n-1)*50)

  则{a_n}是以a₁=60,d=-0.5为公差的等差数列。 

  则 S_总=S₂₀+150={20*[60+(60-19*0.5)]/2}+150=1255

  最后我们也就得出了全部付款后需要总额1255元。

关于等差数列的实际应用太多太多，平时练习的题目都是直接揭露本质，不被这些文字糖所包裹...