【JZOJ4782】【NOIP2016提高A组模拟9.15】Math

题目描述

输入

输出

样例输入

3 5

样例输出

-1

数据范围

解法

观察式子，可以得知整个式子与d(i*j)的奇偶性有关。
d(n)为奇数当且仅当n是完全平方数。
对于一个i，如果d(i*j) (j∈[1,m])有奇数个完全平方数，那么d的和即为奇数，则贡献为-1；否则为1。
那么我们考虑如何求d(i*j)有多少个奇数，也即有多少个完全平方数。

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我们设i=k∗q2（q极大，q,k均为整数）；
如果我们要使i*j是完全平方数，那么j必须满足j=k∗p2（p极大，p,k均为整数）；
因为j必须要使i中的因子k也变为平方因子，j中就必须有k这个因子。
然后，i*j的完全平方数就有mk−−√个。
那么问题就在于如何快速求出对于每个i的k。

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设k(i)是对于i的所谓的k；
考虑线性筛法；
设j是i的一个质因数。
如果i|k(j/i)，那么k(i)=k(j/i)/i；否则k(i)=k(j/i)*i。
边界是k(1)=1,k(p)=p(p为素数)。
那么就可以用线性筛法O(n)完成对k的求解了。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="aP1.in";
const char* fout="aP1.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=10000007;
ll n,m,i,j,k,ans,tmp,tmd;
ll yue[maxn],b[maxn];
bool bz[maxn];
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    b[1]=1;
    for (i=2;i<=n;i++){
        if (!bz[i]){
            yue[++yue[0]]=i;
            b[i]=i;
        }
        for (j=1;j<=yue[0];j++){
            if (yue[j]*i>n) break;
            bz[yue[j]*i]=true;
            if (b[i]%yue[j]==0) b[yue[j]*i]=b[i]/yue[j];
            else b[yue[j]*i]=b[i]*yue[j];
            if (i%yue[j]==0) break;
        }
    }
    for (i=1;i<=n;i++){
        if ((ll)sqrt(m/b[i])%2==0) ans++;
        else ans--;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

启发

1.非常重要的是在于问题的转化；
2.考虑完全平方数的时候，要把i拆成k∗p2的形式。
3.线筛的运用。

线筛的性质

每个数i都会由它的最小质因数来筛除。
也即i=p*j(p是i的最小质因数)。

性质

每个数被筛且只被筛一次，也就是所谓O(n)复杂度的原因。

证明

假设这个数i由x1,x2两个质因数来筛除，且x1<x2。
也即i=x1∗j,i=x2∗k;
那么x1必须不能整除k，否则当循环x1*k的时候会break。
所以无论k和x2里面都没有x1这个质因数，k*x2也不会有x1这个质因数。
与假设矛盾。
所以i被筛且只被筛一次。

应用

1.求素数。
2.如果函数f(x)可以由f(x/p) (p是质数)O(1)转移，那么f(x)能够用线筛O(n)求解。大概积性函数的线筛求解也是这个道理。