【算法复习】分治算法

Outline

• 分治思想和递归表达式
• 大整数乘法
• 矩阵乘法的Strassen算法
• 快速傅里叶变化
• 基于分治的排序
  • merge-sort排序
  • 快速排序
  • 排序的下界问题
• 中位数和顺序统计量
• 最邻近点对
• 凸包

Notes

## 分治思想和递归表达式

【分治思想】

　　将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：

• divide（分解）：将问题划分为若干个子问题
• conquer（求解）：递归地解这些子问题；若子问题Size足够小，则直接解决之
• Combine（组合）：将子问题的解组合成原问题的解

【分治递归表达式】

• 设T(n)是Size为n的执行时间，若Size足够小，如n ≤ C (常数)，则直接求解的时间为θ(1)
  • ①设完成划分的时间为D(n)
  • ②设分解时，划分为a个子问题，每个子问题为原问题的1/b，则解各子问题的时间为aT(n/b)
  • ③设组合时间C(n)
• 则有递归方程总结为：
  • T(n)=θ(1) if n<c
  • T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c
• 技术细节（注意）：
• 在声明、求解递归式时，常常忽略向上取整、向下取整、边界条件
• 边界条件可忽略,这些细节一般只影响常数因子的大小，不改变量级。求解时，先忽略细节，然后再决定其是否重要！

 

## 大整数乘法

*********优化划分阶段，降低 T(n)=aT(n/b) + f(n) 中的 a*********

　　这里我们假设有两个大整数X、Y，分别设X=1234、Y=5678。现在要求X*Y的乘积，小学的算法就是把X与Y中的每一项去乘，但是这样的乘法所需的时间复杂度为O(n^2)，效率低下，我们可以尝试使用分治来解决。

 XY = (A2^n/2 + B)(C2^n/2 + D)

= AC2ⁿ + (AD+BC)2^n/2 + BD

= AC2ⁿ + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2^n/2 + BD

• 算法分析：
  • 首先将X和Y分成A，B，C，D
  • 此时将X和Y的乘积转化为上述式子，把问题转化为求解式子的值
  • 此时递归式为 T(n)=4T(n/2)+θ(n) 
  • 算法复杂度 T(n)=θ(n²)
• 继续优化： AD+BC=(B-A)(C-D)+AC+BD
• 算法过程：
  •  划分产生A,B,C,D;
  •  计算 B-A 和 C-D；
  •  计算 n/2 位乘法 AC、BD、(B-A)(C-D)；
  •  计算 (B-A)(C-D) + AC + BD；
  •  AC左移n位，((B-A)(C-D) + AC + BD) 左移n/2位；
  •  计算XY
• 递推式：
  
  • T(n)=θ(1)               　　  if n=1
  • T(n)=3T(n/2)+O(n)          if n>1
•  算法复杂度：          T(n)=O(n^log3) =O(n^1.59)

## 矩阵乘法的Strassen算法

【矩阵相乘的朴素算法 T(n) = Θ(n3)】

朴素矩阵相乘算法，思想明了，编程实现简单。时间复杂度是Θ(n^3)。伪码如下

for i ← 1 to n
    do for j ← 1 to n
        do c[i][j] ← 0
            for k ← 1 to n
                do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]

【矩阵相乘的strassen算法 T(n)=Θ(n^log7) =Θ (n^2.81)】

　　一般算法需要八次乘法，四次加法；算法效率是Θ(n^3)；

　　鉴于上面的分治法方案无法有效提高算法的效率，要想提高算法效率，由主定理方法可知必须想办法将2中递归式中的系数8减少。Strassen提出了一种将系数减少到7的分治法方案，如下图所示。

　　我们可以看到上面只有7次乘法和多次加减法，最终达到降低复杂度为O( n^lg7 ) ~= O( n^2.81 ); 

SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)

n=A.rows

let C be a new n*n matrix
if n==1
    c11=a11*b11
else partition A, B and C as in equation(1)
    C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)
    C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)
    C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)
    C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B22) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)

return C

 

## 快速傅里叶变换（FFT）

问题定义：

　　　　

算法思想：

　　　　

 伪代码：

　　　　　　

递归方程：

　　　　　　

算法复杂度：   T(n) = θ(n logn)

## 基于分治的排序

【归并排序】

归并排序是分治思想的典型应用，

划分策略：根据中间点将数组集合划分成两部分，不断递归

合并策略：比较a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。

MergeSort(A,i,j)
Input:  A[i,…,j]
Output:排序后的A[i,…,j]
1.  k ← (i+j)/2;
2.  MergeSort(A,i,k);
3.  MergeSort(A,k+1,j);
4.  l←i;      h ← k+1;    t=i;                       //设置指针
5.  While l≤k &  h< j   Do
6.       IF   A[l] < A[h]  THEN   B[t] ← A[l]; l ← l+1; t ← t+1;
7.       ELSE B[t] ← A[h]; h ← h+1; t ← t+1;
8.  IF  l<k   THEH                                //第一个子问题有剩余元素
9.       For   v ← l   To   k   Do
10.          B[t] ← A[v]; t ← t+1;
11. IF  h<j   THEN                                //第二个子问题有剩余元素
12.         For   v ← h   To   j   Do
13.             B[t] ← A[v]; t ← t+1;
14. For  v ← i   To   j   Do                    //将归并后的数据复制到A中
15.        A[v] ← B[v]；

复杂度分析： T(n)=2T(n/2)+O(n)　　T(n)=O(nlogn)

复习：归并排序具有如下特点：

• 归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，这是基于比较的排序算法所能达到的最高境界；
• 归并排序是一种稳定的算法，这一点在某些场景下至关重要；
• 归并排序是最常用的外部排序方法（当待排序的记录放在外存上，内存装不下全部数据时，归并排序仍然适用，当然归并排序同样适用于内部排序...）；
• 但其也需要O(n)的辅助空间，而与之效率相同的快排和堆排分别需要O(logn)和O(1)的辅助空间，在同类算法中归并排序的空间复杂度略高

【快速排序】

划分策略：选取一个记录作为枢轴，经过一趟排序，将整段序列分为两个部分，其中一部分的值都小于枢轴，另一部分都大于枢轴。

递归策略：然后继续对这两部分继续进行排序，从而使整个序列达到有序。

合并策略：无操作

QuickSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j], x
Output: 排序后的A[i,…,j]
1. temp←rand(i,j); //产生i，j之间的随机数
2. x ← A[temp]; //以确定的策略选择x
3. k=partition(A,i,j,x); //用x完成划分
4. QuickSort(A,i,k); //递归求解子问题
5. QuickSort(A,k+1,j);

Partition(A,i,j,x)
1. low←i ; high ←j;
2. While( low< high ) Do
3.     swap(A[low], A[high]);
4. While( A[low] < x ) Do
5.     low←low+1;
6. While( A[low] < x ) Do
7.     high←high-1;
8. return(high)

平均、最优的时间复杂度为O(nlogn)，最差的时间复杂度为O(n^2)

平均的空间复杂度为O(logn)，最差的空间复杂度为O(n)

排序的下界是：Ω(n log n)

## 中位数和顺序统计量

【最大值最小值】

算法MaxMin(A)
输入: 数组A[i,…,j]
输出:数组A[i,…,j]中的max和min
1. If j-i+1 =1 Then 输出A[i],A[i],算法结束
2. If j-i+1 =2 Then
3.     If A[i]< A[j] Then输出A[i],A[j];算法结束
4. k←(j-i+1)/2
5. m1,M1 ←MaxMin(A[i:k]);
6. m2,M2 ←MaxMin(A[k+1:j]);
7. m ←min(m1,m2);
8. M ←max(M1,M2);
9. 输出m,M

时间复杂度分析：T(n) = 3n/2 - 2

所以时间复杂度为：O( ⌊3n/2⌋ )

【中位数的线性时间选择算法】

•  这种算法在最坏的情况下的时间复杂度为O(n)，其具体过程如下：
  • 将输入数组划分为n/5组，每组有5个元素，且剩下的至多有一组的元素小于5个。
  • 寻找这n/5个组中每个组的中位数，可以将每组做一次排序，然后选取每组的第三个元素。
  • 对于第2部找出的n/5个中位数递归的调用Select函数求出其中位数x.（约定偶数个中位数为其较小的中位数）
  • 按照找到的中位数x将数组划分为两个部分，求得小于或者等于x的元素有q个
  • 如果k==q则返回x,若k<q则在x的左区间找第k小的数，否则在x的有区间找第k-q大的数

Input: 数组A[1:n], 1≤i≤n
Output: A[1:n]中的第i-大的数
1. for j←1 to n/5
2.   InsertSort(A[(j-1)*5+1 : (j-1)*5+5]);
3.   swap(A[j], A[[(j-1)*5+3]);
4. x ←Select(A[1: n/5], n/10 );
5. k ←partition(A[1:n], x);
6. if  k=i  then       return x;
7. else if k>i then    retrun Select(A[1:k-1],i);
8. else                retrun Select(A[k+1:n],i-k);

递归方程式：T(n) ≤ T( ⌈n/5⌉ ) +T(7n/10+6) + O(n)

时间复杂度：T(n) = O(n)

## 最邻近点对

• 输入：Euclidean空间上的n个点的集合Q
• 输出：P₁, P₂∈Q,    Dis(P1, P2)=Min{Dis(X, Y) | X, Y∈Q}  

• 算法过程：
  • 如果Q中仅包含一个点，则算法结束；
  • 把Q中点分别按x-坐标值和y-坐标值排序.
• 划分：
  • 计算Q中各点x-坐标的中位数m；
  • 用垂线 L:x=m 把Q划分成两个大小相等的子集合Q_L 和Q_R， Q_L中点在L左边, Q_R 中点在L右边.
• 求解：
  • 递归地在Q_L、Q_R中找出最接近点对:(p₁, p₂)∈Q_L , (q₁, q₂)∈Q_R
  • d=min{Dis(p₁, p₂), Dis(q₁, q₂)};
• 合并：
  • 在临界区查找距离小于d的点对(p_l, q_r), p_l∈Q_L,q_r∈Q_R;
  •  如果找到，则(p_l, q_r)是Q中最接近点对，否则(p1, p2)和(q1, q2) 中距离最小者为Q中最接近点对
• 时间复杂度：
  • Divide阶段需要O(n)时间
  • Conquer阶段需要2T(n/2)时间
  • Merge阶段需要O(n)时间
  • 递归方程
    • T(n)= O(1) 　　              n = 2
    • T(n) = 2T(n/2) + O(n)      n ≥ 3
  • 用Master定理求解T(n)
    • T(n) = O(nlogn)

## 凸包