41.把数组排成最小的数[Sort array to smallest value]

【题目】

输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{3，32,  321}，则输出这两个能排成的最小数字321323。请给出解决问题的算法，并证明该算法。

【思路】

先将整数数组转为字符串数组，然后字符串数组进行排序，最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义，不是比较a和b，而是比较ab与 ba。如果ab < ba，则a < b；如果ab > ba，则a > b；如果ab = ba，则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。

结论：如果a < b，那么a排在b前面，否则b排在a前面，这样组成的数字是最小的。

【证明】

如何证明？

证明比较两个数字大小规则是有效的。

证明根据这种规则组合的数字是最小的。

【证明1】

1.证明比较两个数字大小规则是有效的。

一个有效的比较需要三个条件：

（1）自反性，即a等于a；

（2）对称性，即如果a大于b，则b小于a；

（3）传递性，即如果a小于b，b小于c，则a小于c。

现在分别予以证明。

（1）自反性。显然有aa=aa，所以a等于a。

（2）对称性。如果a小于b，则ab<ba，所以ba>ab。因此b大于a。

（3）传递性。 如果a小于b，则ab<ba；如果b小于c，则bc<cb。

举个例子a=1,b=23,c=345。

设a、b、c用十进制表示的时候分别为x位、y位、z位。则ab= a×10^y+b，ba=b×10^x+a;

则由ab<ba推出a×10^y+b< b×10^x+a，即a/(10^x-1)<b/(10^y -1)【结果1】。

同理由bc<cb推出b×10^z+c< c×10^y+b，即b/(10^y-1)<c/(10^z -1)【结果2】。

由【结果1】和【结果2】得到a/(10^x-1)< c/(10^z -1)【结果3】。由【结果3】得到ac<ca，即a小于c。

【证明2】

2.证明根据这种规则组合的数字是最小的。

我们把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为F(n)=A1A2A3…An，则F(n)一定是最小的。

反证法证明：

假设这样排出来的两个数并不是最小的。即至少存在两个x和y（1<=x<y<=n），交换第x个数和地y个数后，使得A1A2…Ay…Ax…An<A1A2…Ax…Ay…An【原结论】。

设F(n)= A1A2…Ax…Ay…An。

因为Ay-1Ay<AyAy-1，则F(n)= A1A2…Ax…Ay…An< A1A2…AxAx+1…AyAy-1…An。同理不断将Ay左移，得到F(n)< A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An。

因为AxAx+1<Ax+1Ax,则F(n)< A1A2…AyAx+1AxAx+2…Ay-2Ay-1…An。同理不断将Ax右移，得到F(n)< A1A2…AyAx+1Ax+2…Ay-2Ay-1Ax…An。

即F(n)=A1A2…Ax…Ay…An<A1A2…Ay…Ax…An【新结论】。

【新结论】与【原结论】相矛盾，所以假设不成立，原结论正确，即把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为F(n)=A1A2A3…An，则F(n)一定是最小的。

【代码】

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

#include <iostream> // cin cout #include <string> // string #include <sstream> // stringstream #include <algorithm> // sort using namespace std; bool compare(const string &str1, const string &str2) {     string s1 = str1 + str2;     string s2 = str2 + str1;     return s1 < s2; } void SortArrayToMinValue(int *data, int length) {     if(NULL == data || length <= 0)         return;     string *strData = new string[length];     //convert int to string     for (int i = 0; i < length; ++i)     {         stringstream ss;         ss << data[i];         ss >> strData[i];     }     // sort string array with user-defined compare function     sort(strData, strData + length, compare);     // print string array     for (int i = 0; i < length; i++)     {         cout << strData[i];     }     cout << endl;     // free memory     delete []strData;     strData = NULL; } void test_case() {     int data[] = {3, 32, 321};     int length = sizeof(data) / sizeof(int);     SortArrayToMinValue(data, length);     int data2[] = {456, 23, 1};     int length2 = sizeof(data2) / sizeof(int);     SortArrayToMinValue(data2, length2); } int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]) {     test_case();     return 0; }

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200952174133707/

http://www.cnblogs.com/youxin/p/3294154.html

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6704902