Description
去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。
求如下表达式的值：
[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nf(ij)
]
其中 表示ij的约数个数。
他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。
Input
第一行一个整数n。
Output
一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。
Sample Input
2
Sample Output
8
HINT
对于100%的数据n <= 10^9。
solution
这题要求的东西其实和[bzoj3994] [SDOI2015]约数个数和是一样的，只是数据范围不同．
由于这题(n)到了(1e9)，考虑使用杜教筛．
对于(f(n)=sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{n}{i} floor)，可以数论分块大力算一下．
然后考虑(sum_{i=1}^{n}mu(i))怎么算．
先把杜教筛的套路式搬出来：
[S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{i=2}^{n}g(i)S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
其中，设(f(n)=mu(n))，(S(n)=sum_{i=1}^nf(i))．
然后我们知道这样一个式子：
[sum_{d|n}mu(d)=epsilon(n)
]
其中(epsilon(n)=[n=1])，表示狄利克雷卷积的元函数．
所以我们令(g(n)=１)，即常函数，然后卷起来：
[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})=sum_{d|n}mu(d)=epsilon(n)
]
所以(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=1)，即：
[S(n)=1-sum_{i=2}^{n}S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
然后递归求解，线筛出前(1e7)个，记忆化一下就做完了．
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
const int maxn = 1e7+1;
const int mod = 1e9+7;
int pri[maxn],vis[maxn],mu[maxn],n,tot;
void sieve() {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int t,j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
vis[t=i*pri[j]]=1;
if(!(i%pri[j])) {mu[t]=0;break;}
mu[t]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<maxn;i++) mu[i]=(mu[i-1]+mu[i])%mod;
}
map<int,int > Sum_mu;
int sum_mu(int n) {
if(n<maxn) return mu[n];
if(Sum_mu[n]) return Sum_mu[n];
int T=2,res=1;
while(T<=n) {
int pre=T;T=n/(n/T);
res=(res-(T-pre+1)*sum_mu(n/T))%mod;T++;
}
return Sum_mu[n]=(res%mod+mod)%mod;
}
int calc(int n) {
int T=1,res=0;
while(T<=n) {
int pre=T;T=n/(n/T);
res=(res+(T-pre+1)*(n/T))%mod;T++;
}
return res;
}
signed main() {
sieve();
int n;read(n);
int T=1,ans=0;
while(T<=n) {
int pre=T;T=n/(n/T);int r=calc(n/T);
ans=(ans+(sum_mu(T)-sum_mu(pre-1))*r%mod*r%mod)%mod;T++;
}
write((ans%mod+mod)%mod);
return 0;
}