• 堆的应用：机器调度

    问题描述：考察一个机械厂，其中有 m 台一模一样的机器。现有 n 个作业需要处理，设作业 i 的处理时间为ti，这个时间为从将作业放入机器直到从机器上取下作业的时间。所谓调度（s c h e d u l e）是指按作业在机器上的运行时间对作业进行分配，使得：

    • 一台机器在同一时间内只能处理一个作业。

    • 一个作业不能同时在两台机器上处理。

    • 作业i 一旦运行，则需要ti个时间单位。

    我们的任务是写一个程序，以便确定如何进行调度才能使在 m 台机器上执行给定的n 个作
    业时所需要的处理时间最短。建立这种调度非常难。实际上，没有人能够设计一个具有多项
    式时间复杂性的算法（即一个复杂性为 O (nk ml ) 的算法， k 和l 为常数）来解决最小调度时间
    问题。

    在调度问题中，采用了一个称为最长处理时间优先（ longest processing time first, LPT）的
    简单调度策略，它可以帮助我们获得一个较理想的调度长度，该长度为最优调度长度的 4 / 3 -
    1 / ( 3m)。在L P T算法中，作业按它们所需处理时间的递减顺序排列。在分配一个作业时，总是
    将其分配给最先变为空闲的机器。

    利用堆可在 O (nl o gn) 时间内建立L P T调度方案。首先，当 n≤m时，只需要将作业 i在0～ti 时刻内分配到机器 i 上去处理。当n >m时，可以首先利用H e a p S o r t将作业按处理时间递增的顺序排列。为了建立L P T调度，作业按相反次序进行分配。

    实现：

      1 #ifndef LPT_H
  2 #define LPT_H
  3 #include "MinHeap.h"
  4 #include "MaxHeap.h"
  5 using namespace std;
  6 template<typename T>
  7 void HeapSort(T a[], int n);
  8 
  9 class JobNode
 10 {
 11     friend void LPT(JobNode*, int, int);
 12     friend void HeapSort<>(JobNode a[], int n);
 13     friend bool operator< (const JobNode& lhs,const JobNode& rhs)
 14     {
 15         return lhs.time < rhs.time ? true : false;
 16     }
 17     friend bool operator> (const JobNode& lhs, const JobNode& rhs)
 18     {
 19         return lhs.time > rhs.time ? true : false;
 20     }
 21     friend bool operator== (const JobNode& lhs, const JobNode& rhs)
 22     {
 23         return lhs.time == rhs.time ? true : false;
 24     }
 25 public:
 26     JobNode() :ID(0), time(0){};
 27     JobNode(const int& id, const int& t) :ID(id), time(t){};
 28     operator int() const{ return time; }
 29     operator int*() {     
 30         return &time; }
 31 
 32     
 33 private:
 34     int ID;
 35     int time;
 36 };
 37 
 38 class MachineNode
 39 {
 40     friend void LPT(JobNode*, int, int);
 41     friend bool operator< (const MachineNode& lhs, const MachineNode& rhs)
 42     {
 43         return lhs.avail < rhs.avail ? true : false;
 44     }
 45     friend bool operator> (const MachineNode& lhs, const MachineNode& rhs)
 46     {
 47         return lhs.avail > rhs.avail ? true : false;
 48     }
 49     friend bool operator== (const MachineNode& lhs, const MachineNode& rhs)
 50     {
 51         return lhs.avail == rhs.avail ? true : false;
 52     }
 53 public:
 54     operator int() const{ return avail; }
 55 private:
 56     int ID;
 57     int avail;
 58 };
 59 
 60 
 61 template<typename T>
 62 void HeapSort(T a[], int n)
 63 {
 64     if (a == NULL || n <= 0)
 65     {
 66         throw exception("Invalid input");
 67     }
 68 
 69     MaxHeap<T> H(1);
 70     H.Initialize(a, n, n);
 71 
 72     for (int i = 0; i < n; ++i)
 73     {
 74         H.DeleteMax(a[i]);
 75     }
 76 }
 77 
 78 //n为作业数，m为机器数
 79 void LPT(JobNode a[], int n, int m)
 80 {
 81 
 82     if (n <= m)
 83     {
 84         cout << "Schedule one job per machine" << endl;
 85         return;
 86     }
 87     
 88     HeapSort(a, n);//将作业时长从大到小排序
 89 
 90     //初始化机器堆
 91     MinHeap<MachineNode> H(m);
 92     MachineNode x;
 93     for (int i = 1; i <= m; ++i)
 94     {
 95         x.avail = 0;
 96         x.ID = i;
 97         H.Insert(x);
 98     }
 99 
100     for (int i = 0; i < n; ++i)
101     {
102         H.DeleteMin(x);//取出第一个空闲的机器
103         cout << "Schedule job " << a[i].ID << " on machine"
104             << x.ID << " from " << x.avail << " to " << (x.avail + a[i].time) << endl;
105 
106         x.avail += a[i].time;
107         H.Insert(x);
108     }
109 }
110 
111 #endif
    View Code

    最大堆：

      1 #ifndef MAXHEAP_H
  2 #define MAXHEAP_H
  3 
  4 #include<iostream>
  5 #include<algorithm>
  6 #include "exceptionerror.h"
  7 using namespace std;
  8 
  9 template<typename T>
 10 class MaxHeap
 11 {
 12 public:
 13     MaxHeap(int MaxHeapSize = 10);
 14     ~MaxHeap()
 15     {
 16         if (heap!=NULL)
 17         {
 18             delete[] heap;
 19             heap = NULL;
 20         }
 21     }
 22 
 23     int Size() const{ return CurrentSize; }
 24     T Max()
 25     {
 26         if (CurrentSize==0)
 27         {
 28             throw OutofBounds();
 29         }
 30 
 31         return heap[1];
 32     }
 33 
 34     MaxHeap<T>& Insert(const T& x);
 35     MaxHeap<T>& DeleteMax(T& x);
 36     void Initialize(T a[], int size, int ArraySize);
 37 private:
 38     int CurrentSize;
 39     int MaxSize;
 40     T* heap;
 41 };
 42 
 43 template<typename T>
 44 MaxHeap<T>::MaxHeap(int MaxHeapSize=10):MaxSize(MaxHeapSize),CurrentSize(0)
 45 {
 46     heap = new T[MaxSize + 1];
 47 }
 48 
 49 template<typename T>
 50 MaxHeap<T>& MaxHeap<T>::Insert(const T& x)
 51 {
 52     size_t index = ++CurrentSize;
 53     while (index!=1&&x>heap[index/2])
 54     {
 55         heap[index] = heap[index / 2];
 56         index = index / 2;//移向父节点
 57     }
 58 
 59     heap[index] = x;
 60 
 61     return *this;
 62 }
 63 
 64 template<typename T>
 65 MaxHeap<T>& MaxHeap<T>::DeleteMax(T& x)
 66 {
 67     if (CurrentSize==0)
 68     {
 69         throw OutofBounds();
 70     }
 71 
 72     x = heap[1];
 73     T temp = heap[CurrentSize--];
 74     size_t index = 1;
 75     size_t cindex = 2;
 76     while(cindex<=CurrentSize)
 77     {
 78         if (cindex<CurrentSize&&heap[cindex]<heap[cindex+1])
 79         {
 80             ++cindex;
 81         }
 82 
 83         if (temp>heap[cindex])
 84         {
 85             break;
 86         }
 87 
 88         heap[index] = heap[cindex];//move down
 89         index = cindex;
 90         cindex *= 2;
 91     }
 92 
 93     heap[index] = temp;
 94     return *this;
 95 }
 96 
 97 template<typename T>
 98 void MaxHeap<T>::Initialize(T a[], int size, int ArraySize)
 99 {
100     delete[] heap;
101     heap = new T[ArraySize + 1];
102     MaxSize = ArraySize;
103     CurrentSize = size;
104 
105     memcpy(heap+1, a, (CurrentSize)*sizeof(T));
106     size_t cindex;
107     for (size_t index = CurrentSize / 2; index >= 1;--index)
108     {
109         T temp = heap[index];
110 
111         cindex = 2 * index;
112         while (cindex<=CurrentSize)
113         {
114             if (cindex<CurrentSize&&heap[cindex + 1]>heap[cindex])
115             {
116                 ++cindex;
117             }
118 
119             if (temp>heap[cindex])
120             {
121                 break;
122             }
123 
124             heap[cindex/2] = heap[cindex];
125             cindex *= 2;
126         }
127         
128         heap[cindex / 2] = temp;        
129     }
130 
131 }
132 #endif
    View Code

    最小堆：

      1 #ifndef MinHeap_H
  2 #define MinHeap_H
  3 
  4 #include<iostream>
  5 #include<algorithm>
  6 #include "exceptionerror.h"
  7 using namespace std;
  8 
  9 template<typename T>
 10 class MinHeap
 11 {
 12 public:
 13     MinHeap(int MaxHeapSize = 10);
 14     ~MinHeap()
 15     {
 16         if (heap!=NULL)
 17         {
 18             delete[] heap;
 19             heap = NULL;
 20         }
 21     }
 22 
 23     int Size() const{ return CurrentSize; }
 24     T Min()
 25     {
 26         if (CurrentSize==0)
 27         {
 28             throw OutofBounds();
 29         }
 30 
 31         return heap[1];
 32     }
 33 
 34     MinHeap<T>& Insert(const T& x);
 35     MinHeap<T>& DeleteMin(T& x);
 36     void Initialize(T a[], int size, int ArraySize);
 37 private:
 38     int CurrentSize;
 39     int MaxSize;
 40     T* heap;
 41 };
 42 
 43 template<typename T>
 44 MinHeap<T>::MinHeap(int MaxHeapSize=10):MaxSize(MaxHeapSize),CurrentSize(0)
 45 {
 46     heap = new T[MaxSize + 1];
 47 }
 48 
 49 template<typename T>
 50 MinHeap<T>& MinHeap<T>::Insert(const T& x)
 51 {
 52     size_t index = ++CurrentSize;
 53     while (index!=1&&x<heap[index/2])
 54     {
 55         heap[index] = heap[index / 2];
 56         index = index / 2;//移向父节点
 57     }
 58 
 59     heap[index] = x;
 60 
 61     return *this;
 62 }
 63 
 64 template<typename T>
 65 MinHeap<T>& MinHeap<T>::DeleteMin(T& x)
 66 {
 67     if (CurrentSize==0)
 68     {
 69         throw OutofBounds();
 70     }
 71 
 72     x = heap[1];
 73     T temp = heap[CurrentSize--];
 74     size_t index = 1;
 75     size_t cindex = 2;
 76     while(cindex<=CurrentSize)
 77     {
 78         if (cindex<CurrentSize&&heap[cindex]>heap[cindex+1])
 79         {
 80             ++cindex;
 81         }
 82 
 83         if (temp<heap[cindex])
 84         {
 85             break;
 86         }
 87 
 88         heap[index] = heap[cindex];//move down
 89         index = cindex;
 90         cindex *= 2;
 91     }
 92 
 93     heap[index] = temp;
 94     return *this;
 95 }
 96 
 97 template<typename T>
 98 void MinHeap<T>::Initialize(T a[], int size, int ArraySize)
 99 {
100     delete[] heap;
101     heap = new T[ArraySize + 1];
102     MaxSize = ArraySize;
103     CurrentSize = size;
104 
105     memcpy(heap+1, a, (CurrentSize)*sizeof(T));
106     size_t cindex;
107     for (size_t index = CurrentSize / 2; index >= 1;--index)
108     {
109         T temp = heap[index];
110 
111         cindex = 2 * index;
112         while (cindex<=CurrentSize)
113         {
114             if (cindex<CurrentSize&&heap[cindex + 1]<heap[cindex])
115             {
116                 ++cindex;
117             }
118 
119             if (temp<heap[cindex])
120             {
121                 break;
122             }
123 
124             heap[cindex/2] = heap[cindex];
125             cindex *= 2;
126         }
127         
128         heap[cindex / 2] = temp;        
129     }
130 
131 }
132 #endif
    View Code

    运行：

     1 #include <iostream>
 2 #include "LPT.h"
 3 using namespace std;
 4 
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     JobNode a[10];
 9     for (int i = 0; i < 10;++i)
10     {
11         JobNode x(i, i + 1);
12 
13         a[i] = x;
14     }
15 
16     LPT(a, 10, 3);
17 
18     return 0;
19 }
    View Code
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