二值形态学膨胀

    膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B平移a后得到B_a，若B_a击中X，我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：D(X)={a | Ba↑X}=X  B，如图1所示。图1中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，B_a击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。

    同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被 B^v膨胀的结果不同。

    让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图2中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B。膨胀的方法是，拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对，如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑；右边是膨胀后的结果。可以看出，它包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的。

图1   膨胀的示意图

图2  膨胀运算

    只需腐蚀的代码稍加修改便可实现膨胀，下面是膨胀运算的C++代码：

/*
 * my_dilate.cpp
 * 对二值图像进行膨胀
 *  Created on: 2011-10-8
 *      Author: LiChanghai
 */
// 假定背景为黑色---0，目标为白色---255
// 结构元素---m×n的矩形，m,n为奇数
// 结构元素的中心作为原点
#include <string.h>
#define M 3
#define N 3
#define M1  (M-1)/2
#define N1  (N-1)/2
bool my_dilate(unsigned char *pImage, int width, int height, int biBitCount)
{
    //定义相关变量
    int i, j, i2, j2;
    bool mark=0;
    //定义结构元素
    unsigned char element[M][N];
    memset(element,255,sizeof(element));

    //定义变量，计算图像每行像素所占的字节数（必须是4的倍数）
    int lineByte=(width * biBitCount/8+3)/4*4;

    //申请新的位图数据存储空间, 并拷贝原图像
    unsigned char *pImage2;
    pImage2=new unsigned char[lineByte*height];
    memcpy(pImage2, pImage, lineByte*height);

    //现在对pImage2进行判断，对pImage进行处理
    //为防止访问越界，最外面的一圈像素不作处理
    for(i=M1; i<height-M+1; i++)
           for(j=N1; j<width-N+1; j++)
           {
               if(*(pImage2+i*lineByte+j)==0) //只对背景像素处理
               {
                   mark=0;
                   for(i2=-M1; i2<M1+1; i2++)
                       for(j2=-N1; j2<N1+1; j2++)
                           if(*(pImage2+(i+i2)*lineByte+(j+j2)) == element[i2+M1][j2+N1])
                               mark=1; //如果结构元素有一个点在目标区域内，则标记
                   //如果该背景像素被标记，则将该像素膨胀为目标像素
                   if(mark==1)
                       *(pImage+i*lineByte+j)=255;
               }
           }
    return 1;
}

     腐蚀运算和膨胀运算互为对偶的，用公式表示为(X  B)^c=(X^c  B)，即X 被B腐蚀后的补集等于X的补集被B膨胀。这句话可以形象的理解为：河岸的补集为河面，河岸的腐蚀等价于河面的膨胀。在有些情况下，这个对偶关系是非常有用的。例如：某个图象处理系统用硬件实现了腐蚀运算，那么不必再另搞一套膨胀的硬件，直接利用该对偶就可以实现了，比如可以先将图像反色，然后做腐蚀，之后再反色，就相当于对原图像膨胀了。