由于本蒟蒻太菜，所以只能写一下比较简单的母函数以及应用了，希望对大家有帮助。
定义：对于序列(A={a_0,a_1....a_n})，其对应的母函数为(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+.....)
就这样，我们构造出了一个母函数。这个是普通型母函数。
我们先讨论一下最简单的母函数：
(F(x)=1+x+x^2+x^3+...)
显然等比数列求和公式得到：
(F(x)=frac{1}{1-x})
我们可以将1看成(x^0).
母函数是用来处理组合计数问题的有力工具，先来一道例题加以说明。
现在有7个1,3个2,8个3,5个4，问它们能组成的五位数有多少？
限制要求为：1至少有1个，2和3必须是偶数个（也可以不出现），4只能出现2个或3个。
其实就是一个组合计数，但是是不是一时看起来不太有头绪呢？
我们先来构造一个函数吧。
(G(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)
我们来解释一下：当1出现1次时，是(x)，或者说当1出现一次时的问题答案，对应(x)；当1出现2次时，是(x^2),以此类推。
那么，这个式子的意义就是，当1出现(1,2,3...7)次时，一共有多少种答案。
此处我们发现，带(x)的项没啥用。也就是说，它只是用来标记的。我们称之为标记函数。
那么，以此类推，让我们构造一下(2,3,4)的母函数吧！
(G_2(x)=1+x^2)
(G_3(x)=1+x^2+x^4+x^6+x^8)
(G_4(x)=x^2+x^3)
我们将四个式子乘起来得到：
(F(x)=G(x)*G_2(x)*G_3(x)*G_4(x))
(=(x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9)*(x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^{11}))
(=x^3+2x^4+4x^5+6x^6+8x^7+10x^8+12x^9+13x^{10}+14x^{11}+13x^{12}+12x^{13}+...+x^{19})
后面没有继续写是因为我们只需要用到前几项，而且后面几项与前面几项成对称（系数）
观察一下吧！
我现在说，(x^5)次方的系数就是我们的答案。（也有可能计算出锅了）
我们理解一下：前面已经说过了构造1的母函数的思路，那么显然，其它的也是类似。
那么，我们把所有数位的答案乘起来，不就是总答案了吗！
所以这种题可以被这样切掉。
但是注意，如果对于一些无限的数量的话，我们需要用到指数型母函数，它们的区别就在于标志函数了。
有机会本蒟蒻将会写一下指数型母函数的讲解。于此留下几道例题：
1.现在有7个黄球，8个绿球，2个红球，定义一个组合中必须包含10个球，且限制：
黄球至少有5个，绿球必须是偶数个，红球无限制。（注意不是数量无限制，而是条件无限制）
问，一共有多少种方法组成一个组合呢？
2.现在我们分别有(1,2,5,9,10g)的砝码各6个，问：最多能称出多少克的物品？能称出几种不同重量的物品？称出最重的物品有多少种方案？
注意：天平只有一边能放东西。其中，奇数克的砝码只能有奇数个，偶数克的砝码只能有偶数个。
如果有任何的问题请在评论处指出错误，不胜感激。