[网络流24题] 魔术球问题 (最大流)

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脑抽写了个费用流$T$飞了，看了题解才明白是怎么跑最大流的

这道题有一个贪心，如果小于它的数没有能和它之和是完全平方数的，那么它一定要新建一个柱子

证明可以看poorpool神犇的这篇博客

由于每个点只能用一次，所以每个点$x$拆成$2$个点$x1$和$x2$，$x1$和源点相连，$x2$和汇点相连，流量均为$1$

而如果两个数$x,y$能构成完全平方数，那么$x1$连接$y2$

我们从小到大遍历每个数$x$，然后在图内加入$x2$，如果产生了一条新流，说明$x$能找到一个$y(y<x)$，$x+y$是完全平方数

否则，我们新加入一个柱子

然后不论能否产生新流，把$x1$加入到图中

验证是否产生新流可以用$Dinic$最大流实现

为什么要这么做呢？

我们是动态往图里加的点，每次加完点以后，如果情况合法，会产生一条新流。

如果不这么做，我们每次要重新建边，大大拉高的时间复杂度

如何记录方案呢？

一个柱子里的点会形成一条链(即使在网络流图内它看起来不是一条链)。

可以向并查集一样，开一个数组，在$Dinic$里记录每个点的流量流向哪个位置就行了

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 8010
#define M1 40010
#define ll long long
#define dd double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int gint()
{
    int ret=0,fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}
struct Edge{
int head[N1],to[M1<<1],nxt[M1<<1],flow[M1<<1],cte;
void ae(int u,int v,int F)
{
    cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F; 
    nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
}
}e,E;
int n,m,K,S,T,F,mx;
int que[M1],hd,tl,dep[N1],cur[N1],pre[N1];
int bfs()
{
    int x,j,v;
    memset(dep,-1,sizeof(dep)); memcpy(cur,e.head,sizeof(cur));
    hd=1,tl=0; que[++tl]=S; dep[S]=0; 
    while(hd<=tl)
    {
        x=que[hd++];
        for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])
        {
            v=e.to[j];
            if( e.flow[j]>0 && dep[v]==-1 )
                dep[v]=dep[x]+1, que[++tl]=v;
        }
    }
    return dep[T]!=-1;
}
int dfs(int x,int limit)
{
    int j,v,flow,ans=0; if(x==T||!limit) return limit;
    for(j=cur[x];j;j=e.nxt[j])
    {
        cur[x]=j; v=e.to[j];
        if( dep[v]==dep[x]+1 && (flow=dfs(v,min(e.flow[j],limit))) )
        {
            limit-=flow; ans+=flow;
            e.flow[j]-=flow; e.flow[j^1]+=flow;
            if(v>n*n&&v<=2*n*n) pre[x]=v-n*n;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return ans;
}

int stk[N1],tp;

int de;
int Dinic()
{
    int mxflow=0;
    while(bfs())
        mxflow+=dfs(S,inf);
    return mxflow;
}
void solve()
{
    int i,j,k,sq,num=0,ans,x;
    S=0; T=2*mx+1; e.cte=1;
    for(i=1;i<=mx;i++)
    {
        //e.ae(i,i+mx,1); e.ae(i+mx,i,0);
        for(j=n;j>1;j--)
        {
            k=j*j-i;
            if(k>0&&k<i) 
                e.ae(k,i+mx,1),e.ae(i+mx,k,0);
        }
        e.ae(i+mx,T,1); e.ae(T,i+mx,0); 
        if(Dinic()<=0){
            if(num+1>n){ ans=i-1; break;}
            stk[++tp]=i; num++;
        }
        e.ae(S,i,1); e.ae(i,S,0); 
    }
    printf("%d
",ans);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        x=stk[i]; 
        while(x) printf("%d ",x), x=pre[x];
        puts("");
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n); mx=n*n;
    solve();
    return 0;
}