二分图的相关概念
二分图:二分图又称二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果点集V可以分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个点i和j分别属于这两个不同的点集(iin A, j in B), 则称图G是二分图
1.匹配：给定一个二分图，在G的一个子图G’中，如果G’的边集中的任意两条边都不依附于同一个点，则称G’的边集为G的一个匹配
最大匹配：在所有的匹配中，边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了
1'.多重匹配：在匹配的基础上，允许多对一。即一个集合Y的元素可以对应多个集合X的元素，但一个集合X的元素只能对应一个集合Y中的元素
一般情况求可以构成多重匹配的最小限制值limit，对limit进行二分
2.点覆盖：在点集合中，选取一部分点，这些点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是点覆盖集
最小点覆盖：在所有的点覆盖中，点数最小的那个叫最小点覆盖
3.边覆盖：在边集合中，选取一部分边，这些边能够把所有的点都覆盖了。这些边就是边覆盖集
最小边覆盖：在所有的边覆盖中，边数最小的那个叫最小边覆盖
4.独立集：在所有的点中选取一些点，这些点两两之间没有连线，这些点就叫独立集（即任意两点都不相连的点的集合）
最大独立集：独立集中，点数最多的那个集合
5.完全子图（完全子图好像也叫团）：任意两点都相连的点的集合
最大完全子图：完全子图中，点数最多的那个集合
6.对于有向无环图(Directed Acyclic Graph)，有路径覆盖的概念：
路径覆盖：在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的点，每个点都只与一条路径相关联
最小路径覆盖：在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了
7.最大权匹配（最佳匹配）：当给二分图中的边加上权之后，边权最大的匹配
好像这个最大权匹配一定是完备匹配（包含个数少的那个集合的所有点，前提是这些点都有边相连）
8.最小点权覆盖：当给点加上权之后，点权最小的点覆盖
可以转换为最大权匹配。把边权设为点权的和（求所有点的权的和的话）、大的或者小的（只要求选其中一个点的话）
关系：
1.最大匹配数：匈牙利或者网络流
2.最小点覆盖数=最大匹配数（证明？König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。）
3.最小边覆盖数=点数-最大匹配数（想一下，要想最少的边，那就要匹配最多的点，因为匹配了的边 一条边可以连接两个未连接点，另外 加上未匹配的点数即可，因为这些点每个都需要一条边连接，所以总共需要的边数 就为 最大匹配数 + 点数 - 2*最大匹配数）
4.最大独立数=点数-最大匹配数
5.最大完全数=原图的补图的最大独立数
6.DAG的最小路径覆盖数=DAG图中的点数-相应二分图中的最大匹配数（证明？）
建图：先拆点，将每个点分为两个点，左边是1到n个点，右边是1到n个点，然后每一条有向边对应左边的点指向右边的点
7.最大权匹配（最佳匹配）:KM算法，好像也能用网络流
8.最小点权覆盖=最小权匹配
相关博客：http://dsqiu.iteye.com/blog/1689505
下面以题目来看模板的使用：
HDU - 2063 过山车（最大匹配数）（模板）
d.男生女生一起坐过山车，每一排有两个座位，但是有个条件，就是每个女生必须找个男生做同伴一起（但是女生只愿意和某几个男生中的一个做同伴），求最多可以有多少对男女生组合坐上过山车。
s.二分图的最大匹配，女生作为X集合（左边），男生作为Y集合（右边）
c.匈牙利算法（邻接矩阵）：
/* 顶点编号从0开始的 邻接矩阵（匈牙利算法） 二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）（邻接矩阵形式） 初始化：g[][]两边顶点的划分情况 建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配 g没有边相连则初始化为0 uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数 左边是X集，右边是Y集 调用：res=hungary();输出最大匹配数 优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解 时间复杂度：O(VE) */ #include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; const int MAXN=512; int uN,vN;//u,v 的数目，使用前面必须赋值 int g[MAXN][MAXN];//邻接矩阵，记得初始化 int linker[MAXN];//linker[v]=u，表示v（右边Y集合中的点）连接到u（左边X集合中的点） bool used[MAXN]; bool dfs(int u){//判断以X集合中的节点u为起点的增广路径是否存在 for(int v=0;v<vN;v++)//枚举右边Y集合中的点 if(g[u][v]&&!used[v]){//搜索Y集合中所有与u相连的未访问点v used[v]=true;//访问节点v if(linker[v]==-1||dfs(linker[v])){//是否存在增广路径 //若v是未盖点（linker[v]==-1表示没有与v相连的点，即v是未盖点），找到增广路径 //或者存在从与v相连的匹配点linker[v]出发的增广路径 linker[v]=u;//设定(u,v)为匹配边，v连接到u return true;//返回找到增广路径 } } return false; } int hungary(){//返回最大匹配数（即最多的匹配边的条数） int res=0;//最大匹配数 memset(linker,-1,sizeof(linker));//匹配边集初始化为空 for(int u=0;u<uN;u++){//找X集合中的点的增广路 memset(used,false,sizeof(used));//设Y集合中的所有节点的未访问标志 if(dfs(u))res++;//找到增广路，匹配数（即匹配边的条数）+1 } return res; } int main(){ int i,ans; int K,M,N;//K边数，M是左边的顶点数，N是右边的顶点数 int u,v; while(~scanf("%d",&K)){ if(K==0)break; scanf("%d%d",&M,&N); uN=M;//匹配左边的顶点数 vN=N;//匹配右边的顶点数 memset(g,0,sizeof(g));//二分图的邻接矩阵初始化 for(i=0;i<K;++i){ scanf("%d%d",&u,&v); g[--u][--v]=1;//顶点编号从0开始的 } ans=hungary(); printf("%d ",ans); } return 0; }
c2.匈牙利算法（邻接表）：
/* //顶点编号从0开始的 匈牙利算法邻接表形式 使用前用init()进行初始化，给uN赋值 加边使用函数addedge(u,v) */ #include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; const int MAXN=512;//点数的最大值 const int MAXM=1024;//边数的最大值 struct Edge{ int to,next; }edge[MAXM]; int head[MAXN],tot; void init(){ tot=0; memset(head,-1,sizeof(head)); } void addedge(int u,int v){ edge[tot].to=v; edge[tot].next=head[u]; head[u]=tot++; } int linker[MAXN]; bool used[MAXN]; int uN; bool dfs(int u){ for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ int v=edge[i].to; if(!used[v]){ used[v]=true; if(linker[v]==-1||dfs(linker[v])){ linker[v]=u; return true; } } } return false; } int hungary(){ int res=0; memset(linker,-1,sizeof(linker)); //点的编号0~uN-1 for(int u=0;u<uN;u++){ memset(used,false,sizeof(used)); if(dfs(u))res++; } return res; } int main(){ int i,ans; int K,M,N; int u,v; while(~scanf("%d",&K)){ if(K==0)break; scanf("%d%d",&M,&N); uN=M;//匹配左边的顶点数 init();//初始化 for(i=0;i<K;++i){ scanf("%d%d",&u,&v); addedge(--u,--v);//顶点编号从0开始的 } ans=hungary(); printf("%d ",ans); } return 0; }
c3.匈牙利算法（邻接表，用vector实现）：
/* //顶点编号从1开始的 用STL中的vector建立邻接表实现匈牙利算法 效率比较高 处理点比较多的效率很高。1500的点都没有问题 */ #include<iostream> #include<stdio.h> #include<algorithm> #include<string.h> #include<vector> using namespace std; const int MAXN=512;//这个值要超过两边个数的较大者，因为有linker int linker[MAXN]; bool used[MAXN]; vector<int>G[MAXN]; int uN; bool dfs(int u) { int sz=G[u].size(); for(int i=0; i<sz; i++) { if(!used[G[u][i]]) { used[G[u][i]]=true; if(linker[G[u][i]]==-1||dfs(linker[G[u][i]])) { linker[G[u][i]]=u; return true; } } } return false; } int hungary() { int u; int res=0; memset(linker,-1,sizeof(linker)); for(u=1; u<=uN; u++) { memset(used,false,sizeof(used)); if(dfs(u)) res++; } return res; } int main() { int i,ans; int K,M,N; int u,v; while(~scanf("%d",&K)) { if(K==0)break; scanf("%d%d",&M,&N); uN=M;//匹配左边的顶点数 for(i=0; i<MAXN; i++)//二分图的邻接表初始化 G[i].clear(); for(i=0; i<K; ++i) { scanf("%d%d",&u,&v); G[u].push_back(v);//顶点编号从1开始的 } ans=hungary(); printf("%d ",ans); } return 0; }
c4.Hopcroft-Karp算法（邻接矩阵）：
/* ********************************************* //顶点编号从1开始的 二分图匹配（Hopcroft-Carp的算法）。 初始化：g[][]邻接矩阵 调用：res=MaxMatch(); Nx,Ny要初始化！！！ 时间复杂大为 O(V^0.5 E) 适用于数据较大的二分匹配 需要ｑｕｅｕｅ头文件 ********************************************** */ #include<iostream> #include<stdio.h> #include<queue> #include<string.h> using namespace std; const int MAXN=512; const int INF=1<<28; int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny; int dx[MAXN],dy[MAXN],dis; bool vst[MAXN]; bool searchP() { queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=1; i<=Nx; i++) if(Mx[i]==-1) { Q.push(i); dx[i]=0; } while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; for(int v=1; v<=Ny; v++) if(g[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; if(My[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[My[v]]=dy[v]+1; Q.push(My[v]); } } } return dis!=INF; } bool DFS(int u) { for(int v=1; v<=Ny; v++) if(!vst[v]&&g[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { vst[v]=1; if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue; if(My[v]==-1||DFS(My[v])) { My[v]=u; Mx[u]=v; return 1; } } return 0; } int MaxMatch() { int res=0; memset(Mx,-1,sizeof(Mx)); memset(My,-1,sizeof(My)); while(searchP()) { memset(vst,0,sizeof(vst)); for(int i=1; i<=Nx; i++) if(Mx[i]==-1&&DFS(i)) res++; } return res; } int main() { int i,ans; int K,M,N; int u,v; while(~scanf("%d",&K)) { if(K==0)break; scanf("%d%d",&M,&N); Nx=M;//匹配左边的顶点数 Ny=N;//匹配右边的顶点数 memset(g,0,sizeof(g));//二分图的邻接矩阵初始化 for(i=0; i<K; ++i) { scanf("%d%d",&u,&v); g[u][v]=1;//顶点编号从1开始的 } ans=MaxMatch(); printf("%d ",ans); } return 0; }
c5.Hopcroft-Karp算法（邻接表，用vector实现）：
/* //顶点编号从0开始的 二分图匹配（Hopcroft-Karp算法） 复杂度O(squt(n)*E) 邻接表存图，vector实现 vector先初始化，然后加入边 uN为左端的顶点数，使用前赋值（点编号0开始） */ #include<iostream> #include<stdio.h> #include<vector> #include<queue> #include<string.h> using namespace std; const int MAXN=512; const int INF=0x3f3f3f3f; vector<int>G[MAXN]; int uN; int Mx[MAXN],My[MAXN]; int dx[MAXN],dy[MAXN]; int dis; bool used[MAXN]; bool SearchP(){ queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=0;i<uN;i++) if(Mx[i]==-1){ Q.push(i); dx[i]=0; } while(!Q.empty()){ int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis)break; int sz=G[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++){ int v=G[u][i]; if(dy[v]==-1){ dy[v]=dx[u]+1; if(My[v]==-1)dis=dy[v]; else{ dx[My[v]]=dy[v]+1; Q.push(My[v]); } } } } return dis!=INF; } bool DFS(int u){ int sz=G[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++){ int v=G[u][i]; if(!used[v]&&dy[v]==dx[u]+1){ used[v]=true; if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis)continue; if(My[v]==-1||DFS(My[v])){ My[v]=u; Mx[u]=v; return true; } } } return false; } int MaxMatch(){ int res=0; memset(Mx,-1,sizeof(Mx)); memset(My,-1,sizeof(My)); while(SearchP()){ memset(used,false,sizeof(used)); for(int i=0;i<uN;i++) if(Mx[i]==-1&&DFS(i)) res++; } return res; } int main(){ int i,ans; int K,M,N; int u,v; while(~scanf("%d",&K)){ if(K==0)break; scanf("%d%d",&M,&N); uN=M;//匹配左边的顶点数 for(i=0;i<MAXN;++i)//二分图的邻接表初始化 G[i].clear(); for(i=0;i<K;++i){ scanf("%d%d",&u,&v); G[--u].push_back(--v);//顶点编号从0开始的 } ans=MaxMatch(); printf("%d ",ans); } return 0; }